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Vektorräume

Tags: Vektorraum

Nasryn aktiv_icon

17:45 Uhr, 29.06.2016

Hallo ich tue mich ein wenig schwer mit dem Beweisen von Unterräumen bei Polynomen und hätte zu der unten angegebenen Aufgabe eine Frage und zwar, ich habe Bewiesen das die Addition und Multiplikation abgeschlossen ist. Das Nullelement wird ja schon von der Aufgabe selbst angegeben also bleibt nur noch das Inverse Element übrig. Reicht es wenn ich folgende Rechnung aufstelle?

p_{n} (1) + (p_{n} (1) \cdot - 1) = (p_{n} (1) \cdot - 1) \cdot p_{n} (1) = 0 \cdot 0 = 0

Aufgabe:
Sei

P_{n}

der Vektorraum der reellen Polynome vom Grade

n

mit

n \in N_{0}

.
Untersuchen Sie, ob

U := {p_{n} \in P_{n} | p_{n} (0) = p_{n} (1) = 0}

ein Unterraum von

P_{n}

ist.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

18:12 Uhr, 29.06.2016

Hallo,

nein, das reicht nicht!

Du musst zeigen, dass für ein Polynom

p \in U

auch

- p \in U

gilt.

Vielleicht mal ein Tipp: Wenn

p (0) = 0

gilt, so muss

x ∣ p (x)

gelten, d.h.

p (x)

kann als

p (x) = x \cdot q (x)

geschrieben werden, wobei

q \in P_{n}

gilt.
Weiterhin: Gilt auch

p (1) = 0

, so kann

p (x) = (x - 1) \cdot q (x)

geschrieben werden.

Mfg Michael

EDIT: Minuszeichen hinzugefügt

Nasryn aktiv_icon

18:47 Uhr, 29.06.2016

Ich hoffe du verzeihst mir wenn ich fehler mache, da polynome mir ein wenig kopfzerbrechen bereiten.

Ich habe das von dir jetzt so verstanden, dass

p_{n} (0) = x \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} x^{i}

p_{n} (1) = (x - 1) \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} x^{i}

daraus folgere ich

p_{n} = x (x - 1) \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} x^{i}

Du sagtest auch das ich für

p_{n} \in U

das passende

- p_{n} \in U

finden muss
wäre das dann in diesem fall

p_{n} (x) + (- p_{n} (x)) = 0

x (x - 1) \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} x^{i} + (- x (x - 1) \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} x^{i}) = 0

x (x - 1) \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} x^{i} - x (x - 1) \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} x^{i} = 0

x (x - 1) (\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} x^{i} - \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} x^{i}) = 0

Ist das so richtig? Wenn nicht würde ich mir polynome nochmal genauer anschauen.

pwmeyer aktiv_icon

20:19 Uhr, 29.06.2016

Hallo,

ich kann Eurer Diskussion nicht folgen.

Ich verstehe die Aufgabe so: Es ist bekannt, dass

P_{n}

ein Vektorraum ist. Für

U

sind also nur die Unterraum-Bedingungen zu prüfen, also

- Nullpolynom in

U

- p, q \in U \Rightarrow p + q \in U

(klar wegen

(p + q) (0) = p (0) + q (0) = 0,

für 1 analog

- s \in ℝ, p \in U \Rightarrow s \cdot p \in U (

klar wegen

(s \cdot p) (0) = s \cdot p (0),

für 1 analog)

?

Gruß pwm

Nasryn aktiv_icon

21:26 Uhr, 29.06.2016

Ist es denn nicht auch ein Unterraumkriterium das Inverse Element anzugeben?

ledum aktiv_icon

01:44 Uhr, 30.06.2016

Hallo
mit

s \cdot P \in U

hast du ja automatisch

- 1 \cdot P \in U

und damit das Inverse
deshalb redet man in VR eigentlich nie von Inversen. Verwechselst du das mit Gruppen?
Gruß ledum

Nasryn aktiv_icon

13:18 Uhr, 30.06.2016

In meinem Skript steht jedoch, dass ich für den Beweis eines Untervektorraumes das Inverse Element

{\vec{x} + \vec{y} = \vec{y} + \vec{x} = \vec{0}

wobei

\vec{y} = - \vec{x}}

darstellen soll und deshalb war ja oben meine Frage, ob ich das auch einfach mit dem Skalar

- 1

machen kann, wenn ich schon gezeigt habe das die Multiplikation abschlossen ist.

ledum aktiv_icon

22:41 Uhr, 30.06.2016

Hallo
ja, du hast ja gezeigt dass

- p

existiert
ich denke eher, dass ihr zeigt aus

x + y = 0

folgt

y = - x

und umgekehrt.
Gruß ledum

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