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Positionsbestimmung anhand von Kreisen

Universität / Fachhochschule

Tags: Positionsbestimmung, Trilateration

Shenzhen

19:03 Uhr, 02.09.2014

Hallo zusammen

Für die Postitionsbestimmung in

2 D

habe ich drei Kreise von denen ich die Koordinaten der Mittelpunkte kenne. Außerdem kenne ich die Länge zwischen der zu bestimmenden Position und den Mittelpunkten der Kreisen. Mit Trilateration ist es nun Möglich die unbekannte Postion zu bestimmen. So in der Theorie.

In der Praxis sieht die ganze Geschichte etwas anders aus. Die gemessene Strecke zwischen unbekannter Position und Kreismittelpunkt ist Fehlerbehaftet. Somit können die Kreise wie in der Hochgeladenen Abbildung zu einander stehen.

Meine Frage ist wie kann ich möglichst exakt die Position bzw den Bereich bestimmen worin sich die gesuchte Position befindet.
Ich hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

20:55 Uhr, 02.09.2014

Vorschlag: minimal Fehlerquadrat-Ansatz

seien

x, y

die Koordinaten der gesuchte Position,
seien

u_{i}, v_{i}

die Koordinaten der drei Kreismittelpunkte.

Ansatz:
Fehler_i

= {(x - u_{i})}^{2} + {(y - v_{i})}^{2} - R_{i}^{2}

Fehlerquadratsumme

S = \sum {[{(x - u_{i})}^{2} + {(y - v_{i})}^{2} - R_{i}^{2}]}^{2}

Lösungsansatz:
dS/dx

= 0 = \sum {(x - u_{i})}^{3} + \sum {(y - v_{i})}^{2} \cdot (x - u_{i}) - \sum R_{i}^{2} \cdot (x - u_{i})

dS/dy

= 0 = . .

.

Das sind zwar auch schon Funktionen dritten Grades.
Aber wenn man geübt ist, auch ein Gleichungssystem aus 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten numerisch zu lösen, sollte das (numerisch) durchaus machbar sein.

anonymous

21:27 Uhr, 02.09.2014

Es ist sogar noch ein klein wenig einfacher.
Ich sehe gerade, dass man die schon genannte Gleichung als gemischt quadratische Gleichung für

y

auffassen kann:

0 = A (x) \cdot y^{2} + B (x) \cdot y + C (x)

d . h

. du kannst per gemischt quadratischer Gleichung auflösen.

y_{1,2} = f (x)

Und das kannst du in die zweite Gleichung einsetzen.
Das ist dann nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten

0 = f (x)

.
Die sieht dann zwar schon recht komplex aus.
Für einen numerischen Solver

(z . B

. Excel) ist das dann aber schon kein Problem mehr.

Shenzhen

14:57 Uhr, 03.09.2014

R_{i}

ist der Radius des Kreises, oder? Für mich ist der Fehler_i nicht verständlich. Der Fehler müsste für mich der Radius des Kreises subtrahiert vom Abstand von

P

zum Mittelpunkt der Kreises sein. Was verstehe ich nicht?

anonymous

16:48 Uhr, 03.09.2014

Ja richtig, sorry, das hatte ich nicht beschrieben.

R_{i}

ist der Abstand zwischen gesuchter Position

x, y

und dem Kreismittelpunkt, also sozusagen der 'Kreisradius'.

Und ja, wenn fehlerfreie Zustände herrschten, dann wäre ja

R^{2} = {(x - u_{i})}^{2} + {(y - v_{i})}^{2}

Da aber alles ein wenig Fehler-behaftet ist, habe ich eben angesetzt:
Fehler_i

= {(x - u_{i})}^{2} + {(y - v_{i})}^{2} - R_{i}^{2}

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