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Primzahlen, Satz des Sylvester

Universität / Fachhochschule

Primzahlen

Tags: Primzahlen, Teilbarkeit

 
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LittleMissSunshine

LittleMissSunshine aktiv_icon

11:34 Uhr, 03.12.2008

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Primzahlen sind natürliche Zahlen, die genau 2 Teiler haben. Begründen sie mit Hilfe des Satzes von Sylvester (Jede natürliche Zahl n>2 hat genau so viele Darstellungen als Summe aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen, wie sie ungerade Teiler hat. Dabei wird die Zahl 1 nicht als Teiler gezählt, wohl aber die Zahl n selbst.) :3 ist die einzige Dreieckszahl, die zugleich Primzahl ist.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
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anonymous

anonymous

12:07 Uhr, 05.12.2008

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Hallo LittleMissSunshine
Zunächst ein Lob, es gibt hier im Forum auch nette Aufgaben.
Ich musste zunächst mal nachsehen, was Dreieckszahlen sind, und wurde von Wikipedia belehrt:
Eine Dreieckszahl ist eine Zahl, die der Summe aller Zahlen zwischen 1 und einer Obergrenze n entspricht.
Nennen wir die Dreieckszahl "D":
D=1+2+3+... +n

Wie wir sehen, ist dies eine Darstellung als Summe aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen, wie sie auch von J. Sylvester beschrieben ist. Jede Dreieckszahl hat also mindestens einen ungeraden Teiler (>1).

Für unsere Beweisführung unterscheide ich 2 Fälle, nämlich gerade und ungerade Dreieckszahlen.

a) gerade Dreiecksszahlen
Dreieckszahlen lassen sich als Summe aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen darstellen. Laut Satz von Sylvester haben sie folglich mindestens einen ungeraden Teiler (>1). Der Teiler ist ungerade, die Dreieckszahl aber gerade, folglich ist der Teiler nicht die Dreieckszahl selbst.
Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur die Teiler 1 und sich selbst besitzt. Da gerade Dreieckszahlen einen Teiler besitzen, der weder 1 noch D selbst ist, so sind sie nicht prim.

b) ungerade Dreieckszahlen
Ungerade Dreieckszahlen haben neben obiger Darstellung noch mindestens eine zweite Darstellung als Summe aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen, nämlich:
D=v+w= [(D-1)durch 2]+ [(D+1)durch 2)]
Da D ungerade ist, ist v bzw. [(D-1)durch 2] eine natürliche Zahl.
Da D ungerade ist, ist w bzw. [(D+1)durch 2] eine natürliche Zahl.
v und w sind aufeinanderfolgend, denn w=v+1= [(D-1)durch 2]+1= (D+1)durch 2=w
Wenn also ungerade Dreieckszahlen mindestens zwei Darstellungen als Summe aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen besitzen, so besitzen sie auch mindestens zwei ungerade Teiler (>1). Wenn sie aber zwei Teiler besitzen, dann muss mindestens einer davon ein anderer sein, als D selbst.
Da ungerade Dreieckszahlen einen Teiler besitzen, der weder 1 noch D selbst ist, so sind sie nicht prim.

Schlussfolgerung:
Da sowohl gerade als auch ungerade Dreieckszahlen nicht prim sind, sind alle Dreieckszahlen nicht prim! (qed)

Uff - viele Worte.
Streng genommen ist der Beweis aber noch nicht vollständig. Denn da ist diese Ausnahme D=3. Die 3 ist Dreieckszahl (3=1+2) aber bekanntlich auch Primzahl.
Das kommt daher, dass ich für ungerade Zahlen davon ausgegangen war, dass ich zwei Darstellungen gemäß Sylvester darstellen kann, um auf 2 Teiler zu schließen. Für D=3 sind aber beide Darstellungen die selben:
D=1+2+3+... +n=1+2
D=v+w=1+2
... sind die gleiche 'Sylvestresche' Darstellung, also eigentlich nur eine Darstellung. Und tatsächlich hat D=3 nur einen ungeraden Teiler (>1), nämlich die 3 selbst.
Um den Beweis zu vervollständigen, müssten wir beweisen, dass die beiden Darstellungen für D>3 unterschiedlich sind. (Denn nur dann können wir auf 2 ungerade Teiler schließen).
Das aber ist offensichtlich. Die erste Darstellung enthält für D>3 mehr als 2 Summanden, die zweite Darstellung enthält genau 2 Summanden. Ergo, sie sind unterschiedlich. Folglich gilt der Beweis für D>3.

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