Primzahlen sind natürliche Zahlen, die genau 2 Teiler haben. Begründen sie mit Hilfe des Satzes von Sylvester (Jede natürliche Zahl hat genau so viele Darstellungen als Summe aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen, wie sie ungerade Teiler hat. Dabei wird die Zahl 1 nicht als Teiler gezählt, wohl aber die Zahl selbst.) ist die einzige Dreieckszahl, die zugleich Primzahl ist.
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
Hallo LittleMissSunshine
Zunächst ein Lob, es gibt hier im Forum auch nette Aufgaben.
Ich musste zunächst mal nachsehen, was Dreieckszahlen sind, und wurde von Wikipedia belehrt:
Eine Dreieckszahl ist eine Zahl, die der Summe aller Zahlen zwischen 1 und einer Obergrenze entspricht.
Nennen wir die Dreieckszahl "D":
.
Wie wir sehen, ist dies eine Darstellung als Summe aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen, wie sie auch von J. Sylvester beschrieben ist. Jede Dreieckszahl hat also mindestens einen ungeraden Teiler
Für unsere Beweisführung unterscheide ich 2 Fälle, nämlich gerade und ungerade Dreieckszahlen.
gerade Dreiecksszahlen
Dreieckszahlen lassen sich als Summe aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen darstellen. Laut Satz von Sylvester haben sie folglich mindestens einen ungeraden Teiler . Der Teiler ist ungerade, die Dreieckszahl aber gerade, folglich ist der Teiler nicht die Dreieckszahl selbst.
Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur die Teiler 1 und sich selbst besitzt. Da gerade Dreieckszahlen einen Teiler besitzen, der weder 1 noch selbst ist, so sind sie nicht prim.
ungerade Dreieckszahlen
Ungerade Dreieckszahlen haben neben obiger Darstellung noch mindestens eine zweite Darstellung als Summe aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen, nämlich:
(D-1)durch (D+1)durch Da ungerade ist, ist bzw. (D-1)durch eine natürliche Zahl.
Da ungerade ist, ist bzw. (D+1)durch eine natürliche Zahl.
und sind aufeinanderfolgend, denn (D-1)durch (D+1)durch Wenn also ungerade Dreieckszahlen mindestens zwei Darstellungen als Summe aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen besitzen, so besitzen sie auch mindestens zwei ungerade Teiler . Wenn sie aber zwei Teiler besitzen, dann muss mindestens einer davon ein anderer sein, als selbst.
Da ungerade Dreieckszahlen einen Teiler besitzen, der weder 1 noch selbst ist, so sind sie nicht prim.
Schlussfolgerung:
Da sowohl gerade als auch ungerade Dreieckszahlen nicht prim sind, sind alle Dreieckszahlen nicht prim! (qed)
Uff - viele Worte.
Streng genommen ist der Beweis aber noch nicht vollständig. Denn da ist diese Ausnahme . Die 3 ist Dreieckszahl aber bekanntlich auch Primzahl.
Das kommt daher, dass ich für ungerade Zahlen davon ausgegangen war, dass ich zwei Darstellungen gemäß Sylvester darstellen kann, um auf 2 Teiler zu schließen. Für sind aber beide Darstellungen die selben:
. . sind die gleiche 'Sylvestresche' Darstellung, also eigentlich nur eine Darstellung. Und tatsächlich hat nur einen ungeraden Teiler nämlich die 3 selbst.
Um den Beweis zu vervollständigen, müssten wir beweisen, dass die beiden Darstellungen für unterschiedlich sind. (Denn nur dann können wir auf 2 ungerade Teiler schließen).
Das aber ist offensichtlich. Die erste Darstellung enthält für mehr als 2 Summanden, die zweite Darstellung enthält genau 2 Summanden. Ergo, sie sind unterschiedlich. Folglich gilt der Beweis für
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