Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Punkt gesucht

Punkt gesucht

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Kreissegment, Rechtwinkliges Dreieck, Tangent, Vektorraum

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
ergy1983

ergy1983 aktiv_icon

22:53 Uhr, 24.07.2014

Antworten
Hallo,
ich bin am Verzweifeln. Mein Mathewissen ist schon ein wneig eingerostet und jetzt komme ich nicht mehr weiter.

Gegeben sind nach meiner Zeichnung:
h=0,61
s=1,60
alpha=5°
A(100;120)
Gerade GA ist die Tangente an das Kreissegment mit dem Schnittpunkt Z

Gesucht ist die Länge von GF

Ansatz:

Punkt F lässt sich ja noch einfach über cos(α) und tan(α) bestimmen. Das habe ich. Aber wie bekomme ich G heraus?
Ich hatte gedacht, ich bestimme den Mittelpunkt M des Kreissegmentes und den Radius und bestimme Z mit der Bedingung, dass AZ MZ =0, aber egal, was ich mache, ich habe immer zwei Unbekannte...

Hat jemand eine Idee was Sinn macht?

Danke,
Ergy

Grafik1

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

23:37 Uhr, 24.07.2014

Antworten
s und h hängen in der Luft ... Es ist nicht erkennbar, welchen Abstand sie markieren.
LG Ma-Ma
ergy1983

ergy1983 aktiv_icon

23:48 Uhr, 24.07.2014

Antworten
Hallo Ma-Ma,

Danke für Deine schnelle Antwort. Da habe ich es wohl ungeschickt gezeichnet.

S soll die Sehnenlänge des Kreisabschnittes und h die Höhe des Kreisabschnittes darstellen.
Antwort
Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

00:01 Uhr, 25.07.2014

Antworten
Hmmm, Du bist Student? Ich nehme an, nichts Technisches ...

Geht der Kreisabschnitt bis auf die Strecke FA?
s kann NICHT die Sehne sein, da die Sehne ja auf der Strecke FA liegen müsste.

"h die Höhe des Kreisabschnittes darstellen."
Von wo bis wo?

Ohne ordentliche Skizze wird das nix .....

----------
Gibt es eine Originalaufgabenstellung?

ergy1983

ergy1983 aktiv_icon

00:19 Uhr, 25.07.2014

Antworten
Hallo Ma-Ma,

also ich versuche es mal angewendet. Das was ich versuche zu berechnen ist der Querschnitt einer Lamelle (der Kreisabschnitt). Diese Lamelle ist gegeben mit einer Höhe und einer Breite.

Sie wird im Raum von einem menschlichen Auge betrachtet unter bestimmten Blickwinkeln (α). Daraus entsteht ein Bereich, der von der Lamelle verdeckt wird aufgespannt vom Blickpunkt A durch den Punkt F und der Tangente an der Lamelle. Und gesucht ist die Höhe der Verdeckung FG.

Ich weiß nicht, ob es das wirklich klarer macht.

Laut Wikipedia zu Kreissegment, müsste also s die Kreissehne und h die Segmenthöhe sein.

Das Kreissegment "startet" im Punkt F. FA ist nicht die Sehne, sondern eine Gerade, die in Punkt F schneidet und in A anfängt...

Hmm... Ich weiß wirklich nicht, wie ich das noch anders zeichnen soll. Ist es so besser?

Unbenannt-1
Antwort
Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

00:43 Uhr, 25.07.2014

Antworten
"Das was ich versuche zu berechnen ist der Querschnitt einer Lamelle (der Kreisabschnitt)."

"Und gesucht ist die Höhe der Verdeckung FG."

???
Lamelle = Kreisabschnitt(Kreissegment) ?

-------------------
Versuch Dich nochmal an einer sauberen Skizze, wo deutlich erkennbar ist, wo s und h beginnen und enden.

Antwort
Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

01:10 Uhr, 25.07.2014

Antworten
Deine nachträglich angehängte Skizze von 0:19Uhr ist schon besser.
Nun brauchen wir noch s und h konkreter.
LG Ma-Ma

ergy1983

ergy1983 aktiv_icon

01:10 Uhr, 25.07.2014

Antworten
Puh, tut mir Leid, dass ich den komplexen Zusammenhang nicht besser erklären kann. Ich hoffe, Du gibst noch nicht auf.

Lamelle = Kreisabschnitt(Kreissegment) genau

und F und D haben denselben y-Wert. M soll der Kreismittelpunkt des Kreisabschnittes(Kreissegmentes) sein...

Ich habe es jetzt mit dem Zeichnungsprogramm hier versucht. Ist das besser?

Unbenannt-1
Antwort
Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

01:21 Uhr, 25.07.2014

Antworten
JA, das sieht gut aus. Damit kann man etwas anfangen.
Werde mich heute mittag mal damit beschäftigen (jetzt ist es zu spät).
(Evtl. schaut ja auch ein anderer Helfer noch auf diese Aufgabe.)

Allerdings ... ?
h=0,61
s=1,6

Sollen diese Werte weiterhin gelten ?
Wenn ja, so ist A(3|0) sicher nicht relevant ... sondern nur zufällig durch das Zeichenprogramm entstanden ?



ergy1983

ergy1983 aktiv_icon

01:32 Uhr, 25.07.2014

Antworten
Ja, A ist nur durch das Programm entstanden.

Ich habe wie gesagt bereits F und D ermitteln können:

α=
A(100;120)
C(0;0)

yF =tan(α) xA =8.749
xF =0

F(0;8.749)
D(1.6;8.749)

Und M habe ich auch ermittelt:

r= (4*h²+s²)/8*h =0.83
d= wurzel(r²-(s/2)²) =0.22

M(0.8;0.22)

Dann hatte ich gedacht, vielleicht geht es über das rechtwinklige Dreieck MAZ weiter:
MA =155.525
AZ =155.525

Aber da hänge ich...
Antwort
Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

01:40 Uhr, 25.07.2014

Antworten
Kopfschmerzen bereiten mir die Punkte
C(0|0) und A(100|120)

Auf Deiner Skizze liegen C und A beide auf der x-Achse ...
Antwort
Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

01:53 Uhr, 25.07.2014

Antworten
Also wenn wir das Koordinatensystem um 120 Einheiten nach oben verschieben, so können wir annehmen
C(0|0) und A(100|0).

Ja, yF=8,749. Somit F(0|8,749).

F(0|8,749)
D(1,6|8,749)

M muss ich noch ermitteln. Daraus folgt r.

----------
Formelsammlung:
h=2rsin2α4

Damit kannst Du α ermitteln.

----------
Fläche Kreissegment
A=.... (siehe Formelsammlung).


ergy1983

ergy1983 aktiv_icon

09:13 Uhr, 25.07.2014

Antworten
Guten Moregn Ma-Ma,
jetzt hattest Du doch noch weiter gemacht... Danke,

entschuldige für den falschen Punkt A. Deine Annahme ist richtig.

Also α des Kreissegmentes und den Flächeninhalt kann man berechnen, richtig, un dann?

Ich habe es jetzt über ide Kreisgleichung weiter versucht:
(x-0.8)²+(y-0.22)² =0.6889

Nur wie kriege ich die Stiegung der Tangente heraus? Oder auch ein Holzweg?
Antwort
Femat

Femat aktiv_icon

09:34 Uhr, 25.07.2014

Antworten
Hallo ihr Lieben
Ich hab mal meinen Rechenknecht GEOGEBRA bemüht.

Screenshot (118)
ergy1983

ergy1983 aktiv_icon

09:35 Uhr, 25.07.2014

Antworten
Hallo Femat,
danke fürs Einsteigen. Ja, genau. Und verrät Dir Dein Rechenknecht auch, wie er da drauf kommt. Das muss doch irgendwie gehen...
Antwort
Atlantik

Atlantik aktiv_icon

10:12 Uhr, 25.07.2014

Antworten
Ich habe Dir mal eine Zeichnung angefertigt. Auf der siehst du, dass du auf die Tangente an den Kreis mit dem Thaleskreis kommst. Meine Kreisgleichung weicht aber von deiner ab.

mfG

Atlantik

Tangente
Antwort
Femat

Femat aktiv_icon

10:23 Uhr, 25.07.2014

Antworten
Ich zweifle an deiner Kreisgleichung.
Die y-Komponente des Mittelpunktes ist eher falsch.

Ich habe den Mittelpunkt der Sehne bestimmt B, dort einen Vektor h0.16 angehängt und damit einen dritten Punkt B' auf dem Kreis erhalten. Dann zwei Mittelsenkrechten zu FB' und zu DB', die sich im Kreismittelpunkt M schneiden.
Dann Tangenten von A an Kreis gibt Z und ?.
Antwort
Atlantik

Atlantik aktiv_icon

10:37 Uhr, 25.07.2014

Antworten
Vielleicht liegt es daran, dass du für die Höhe den Wert 0,16 statt 0,61 genommen hast.

mfG

atlantik


Antwort
Femat

Femat aktiv_icon

10:57 Uhr, 25.07.2014

Antworten
Danke Atlantik
Ich entschuldige mich für alle Fehler, die ich gemacht habe.
Habs korrigiert

Screenshot (120)
Antwort
Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

16:21 Uhr, 25.07.2014

Antworten
Da ich heute keine Zeit mehr habe, noch einen kleinen Tipp.

Den Punkt Z kannst Du sicher selber ermitteln.
Allgemeine Geradengleichung y= mx +n
Mit zwei Punkten (hier A und Z) kannst Du die Geradengleichung aufstellen.
Letzendlich Schnittpunkt mit der y-Achse ermitteln ....
LG Ma-Ma
ergy1983

ergy1983 aktiv_icon

18:02 Uhr, 28.07.2014

Antworten
Hallo,
danke an Euch alle, dass Ihr mir geantwortet habt.

Ich habe es jetzt durchgerechnet und in AutoCAD gezeichnet zum Überprüfen. Leider weichen meine berechneten Ergebnisse immer ein wenig ab vom "Nachgemessenen".

Ich stelle daher mal zwei Verständnisfragen:

@Atlantik: Du hattest den Ansatz, dass man den Tangentenschnittpunkt Z mit dem Kreisabschnitt derselbe Schnittpunkt ist, wie der zwischen den beiden Kreisen. Richtig? Ist das wirklich so? Oder kann es sein, dass das nur annäherungsweise so ist? Gerade bei höheren Winkeln als 5° wird der Unterschied immer gravierender.

Z gemessen ist bei (1.394;129.353) und berechnet liegt er bei (1.018;129.8)

@Femat: Ich verstehe leider nicht, wie Du von dem "dritten Punkt B' auf dem Kreis erhalten. Dann zwei Mittelsenkrechten zu FB' und zu DB'" auf Punkt Z kommst. Weil B' ja nicht unbedingt auf der Tangente AG liegt! Könntest Du mir das bitte erklären?

Vielen Dank nochmals und ich bin immer noch verzweifelt...
Antwort
Femat

Femat aktiv_icon

18:13 Uhr, 28.07.2014

Antworten
Da 3 Punkte einen Kreis bestimmen, war meine Absicht, mit B' einen dritten Punkt des Kreises zu erhalten.
Das ermöglicht mit den beiden Mittelsenrechten den Kreismittelpunkt zu bestimmen.
Den Berührungspunkt Z der Tangente musst z.B. Mit Thaleskreis gemäss Atlantik bestimmen.
Antwort
Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

20:40 Uhr, 28.07.2014

Antworten
Wenn M(0,8|8,53) und r=0,83 so habe ich für zy=9,357 raus.
Mit cosinus berechnet ...

-------------
Plus die 120 dazu ergibt 129,357 berechnet.
Antwort
Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

20:46 Uhr, 28.07.2014

Antworten
@ergy: Soll ich Dir kurz beschreiben, wie ich´s gemacht habe und DU machst dann die Skizze dazu ?
ergy1983

ergy1983 aktiv_icon

21:47 Uhr, 28.07.2014

Antworten
Hallo Ma-Ma,

das wäre toll. Irgendwie mach ich es zu kompliziert ...
Antwort
Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

22:04 Uhr, 28.07.2014

Antworten
Okay, bin wieder da ... Du auch ?
In 1min geht´s los ... Kopf frei machen ... bis gleich.
Antwort
Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

22:13 Uhr, 28.07.2014

Antworten
Leeres Blatt Papier. (Koordinaten und Längen kannst Du später eintragen, wir machen nur die Prinzipskizze.)

Setze den Punkt M. Gehe nach oben und setze den Punkt B'.
(Länge MB' =r)

Gehe zu B' und ziehe ein Stückchen Kreisbogen bis Z.
(Länge MZ =r)

Du hast jetzt ein schmales Tortenstück.
Bei M liegt der Winkel α=5 Grad.
(Falls dazu Fragen, bitte später.)
------------------

Gehe zu Z.
Ziehe eine Gerade (parallel zu x-Achse) nach LINKS.
Diese Gerade schneidet MB' im neuen Punkt Q.

Siehst Du nun ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei Q ?

------------
Das war´s. Der Rest ist sin und cos....
LG Ma-Ma







Antwort
Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

22:39 Uhr, 28.07.2014

Antworten
Zum Vergleichen (die Höhenverschiebung um 100 können wir weglassen.)

A(120|0)
M(0,8|8,53)
B'(0,8|9,36)

Z(0,872|9,357)
Tangente AZ ist y=-0,0944x+9,44

G(0|9,44)
F(0|8,75)

|GF| =0,69

Falls Du mit mehr Nachkommastellen rechnest, so könnte das Ergebnis noch ein klein wenig abweichen.

LG Ma-Ma

Antwort
Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

23:04 Uhr, 28.07.2014

Antworten
Kommst Du klar?
Antwort
Femat

Femat aktiv_icon

23:19 Uhr, 28.07.2014

Antworten
Liebe Ma-Ma
Wie kommst du auf die 5 Grad? Ich habs grad nachgemessen und komm auf 5.4;Aber wie hast du das bestimmt?
Antwort
Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

23:22 Uhr, 28.07.2014

Antworten
Reden wir von dem gleichen Winkel ?
Die Tangente durch Z hat 5,39 Grad ...
ergy1983

ergy1983 aktiv_icon

23:23 Uhr, 28.07.2014

Antworten
Liebe Ma-Ma,

vielen Dank für Deinen einfachen Weg. Ich komme auf dieselben Zahlen. Echt super.

Ich würde nur auch gerne meine Wissenslücke schließen, warum Alpha bei M 5° ist...
Antwort
Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

23:29 Uhr, 28.07.2014

Antworten
Oh doppelte Frage ... Da muss ich nochmal tief in die Winkelkiste greifen ...
Antwort dauert etwas, schaut bitte morgen nochmal rein.
(Femat hat mich jetzt doch etwas verunsichert ...)
LG Ma-Ma

ergy1983

ergy1983 aktiv_icon

00:12 Uhr, 29.07.2014

Antworten
Hallo Ihr beiden,

habe das jetzt geschafft mit dem Thales-Satz und verglichen mit Deinem Weg (Ma-Ma). Bis auf 4 Nachkommastellen kommt dasselbe heraus!

:-)
Antwort
Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

00:15 Uhr, 29.07.2014

Antworten
Das freut mich! Unsere Ergebnisse decken sich auch mit der Zeichnung von Fermat.
Nun musst Du für Dich entscheiden, wie genau Dein Ergebniss sein muss.
LG Ma-Ma

Antwort
Femat

Femat aktiv_icon

07:50 Uhr, 29.07.2014

Antworten
Der Punkt Z muss 2 Gleichungen erfüllen
1. Die Kreisgleichung
2. Das Skalarprodukt der Vektoren MZ und AZ muss Null sein, weil sie senkrecht stehen

Es gibt natürlich 2 Lösungen, da es ja 2 Tangenten von einem Punkt an Kreis gibt

Dies also eine Variante ohne hellseherische Fähigkeiten (Winkel 5 Grad :-))
Wenn du vom Optischen Bereich bist, ist analytische Geometrie nützlich.

Screenshot (123)
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.