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Quadratwurzeln von Matrizen

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung, Spektralsatz, Symmetrische Matrix, Wurzel

 
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johnmath

johnmath aktiv_icon

21:33 Uhr, 18.05.2017

Antworten
Hallo zusammen :-),
ich habe eine Aufgabe zu Wurzeln von Matrizen und habe einige Probleme. Aber zuerst einmal die Aufgabe:
Es sei An×n eine symmetrische, aber nicht positiv semidefinite Matrix. Dann kann es eine Matrix Bn×n geben, so dass B2=A, aber keine symmetrische.

Mir ist nicht ganz klar, wie ich das beweisen soll, da ich nicht weiß wie man zeigen soll, dass es so eine Matrix geben "kann" (oder auch nicht). Und wie soll ich zeigen, dass diese dann nicht symmetrisch ist?

Muss ich das überhaupt allgemein zeigen? Mir kommt es nämlich so vor, als könnte man einfach ein Beispiel angeben. Es muss ja nur mindestens eine Matrix geben, für die es dieses nicht-symmetrische B gibt, damit die Aussage wahr ist?

Viele Grüße und Danke im Voraus
johnmath

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

22:04 Uhr, 18.05.2017

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Hallo,

schau nach der Cholesky-Zerlegung. Das müsste im Falle positiv SEMIdefiniter Matrizen auch noch gehen.

Mfg Michael
johnmath

johnmath aktiv_icon

22:19 Uhr, 18.05.2017

Antworten
Hallo michaL,
dieses Verfahren kenne ich leider nicht und glaube auch nicht, dass ich es verwenden darf, da wir es in der Vorlesung noch nicht hatten. Gibt es noch eine andere Möglichkeit bzw. reicht meine Idee mit einem Beispiel nicht?

Viele Grüße und vielen Dank
johnmath
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

09:01 Uhr, 19.05.2017

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Hallo,

ich verstehe die Aufgabe so:
1. es gibt eine nicht positiv semidefinite symmetrische Matrix A und
eine Matrix B mit A=B2.
2. Ist A=B2 nicht positiv semidefinit und symmetrisch,
so ist B nicht symmetrisch.

Zu 1. betrachte die Matrix -I2.
Zu 2. Benutze, dass symmetrische Matrizen diagonalisierbar sind (alles
natürlich über gemeint).

Gruß ermanus
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

09:11 Uhr, 19.05.2017

Antworten
Hallo,

> nicht positiv semidefinite

Oh, bitte um Entschuldigung. Ich habe offenbar (mal wieder) einen wesentlichen Teil der Aufgabenstellung nicht gelesen. Danke für den Hinweis.

Mfg Michael
johnmath

johnmath aktiv_icon

18:11 Uhr, 19.05.2017

Antworten
Hallo ermanus,

vielen Dank, dann weiß ich jetzt was ich zu zeigen habe. Meintest du, dass man 2. dann allgemein zeigen muss oder nur mit dem Beispiel aus 1.? Ich denke eher, dass man das allgemein zeigen soll oder?

Viele Grüße
johnmath
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

18:18 Uhr, 19.05.2017

Antworten
Hallo,
2. musst du allgemein zeigen. Dabei wird dir aber helfen, dir
vorzustellen, dass A und B beide Diagonalmatrizen sind.
Das Quadrat eines reellen Eigenwertes kann ja keine negative Zahl sein.
Aber "nicht positiv semidefinit" besagt, dass A einen negativen
Eigenwert hat.

Frage beantwortet
johnmath

johnmath aktiv_icon

18:52 Uhr, 19.05.2017

Antworten
Alles klar, danke!
Ich denke, dass ich das jetzt schaffe. :-)