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Quadratwurzeln von Matrizen
Universität / Fachhochschule
Matrizenrechnung
Tags: Matrizenrechnung, Spektralsatz, Symmetrische Matrix, Wurzel
 
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Hallo zusammen :-), ich habe eine Aufgabe zu Wurzeln von Matrizen und habe einige Probleme. Aber zuerst einmal die Aufgabe: Es sei eine symmetrische, aber nicht positiv semidefinite Matrix. Dann kann es eine Matrix geben, so dass , aber keine symmetrische. Mir ist nicht ganz klar, wie ich das beweisen soll, da ich nicht weiß wie man zeigen soll, dass es so eine Matrix geben "kann" (oder auch nicht). Und wie soll ich zeigen, dass diese dann nicht symmetrisch ist? Muss ich das überhaupt allgemein zeigen? Mir kommt es nämlich so vor, als könnte man einfach ein Beispiel angeben. Es muss ja nur mindestens eine Matrix geben, für die es dieses nicht-symmetrische gibt, damit die Aussage wahr ist? Viele Grüße und Danke im Voraus johnmath Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: n-te Wurzel Wurzel (Mathematischer Grundbegriff) |
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Hallo, schau nach der Cholesky-Zerlegung. Das müsste im Falle positiv SEMIdefiniter Matrizen auch noch gehen. Mfg Michael |
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Hallo michaL, dieses Verfahren kenne ich leider nicht und glaube auch nicht, dass ich es verwenden darf, da wir es in der Vorlesung noch nicht hatten. Gibt es noch eine andere Möglichkeit bzw. reicht meine Idee mit einem Beispiel nicht? Viele Grüße und vielen Dank johnmath |
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Hallo, ich verstehe die Aufgabe so: 1. es gibt eine nicht positiv semidefinite symmetrische Matrix und eine Matrix mit . 2. Ist nicht positiv semidefinit und symmetrisch, so ist nicht symmetrisch. Zu 1. betrachte die Matrix . Zu 2. Benutze, dass symmetrische Matrizen diagonalisierbar sind (alles natürlich über gemeint). Gruß ermanus |
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Hallo, > nicht positiv semidefinite Oh, bitte um Entschuldigung. Ich habe offenbar (mal wieder) einen wesentlichen Teil der Aufgabenstellung nicht gelesen. Danke für den Hinweis. Mfg Michael |
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Hallo ermanus, vielen Dank, dann weiß ich jetzt was ich zu zeigen habe. Meintest du, dass man 2. dann allgemein zeigen muss oder nur mit dem Beispiel aus ? Ich denke eher, dass man das allgemein zeigen soll oder? Viele Grüße johnmath |
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Hallo, 2. musst du allgemein zeigen. Dabei wird dir aber helfen, dir vorzustellen, dass und beide Diagonalmatrizen sind. Das Quadrat eines reellen Eigenwertes kann ja keine negative Zahl sein. Aber "nicht positiv semidefinit" besagt, dass einen negativen Eigenwert hat. |
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Alles klar, danke! Ich denke, dass ich das jetzt schaffe. :-) |
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