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Quantitatives Problem

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matheass12345 aktiv_icon

04:54 Uhr, 03.01.2017

Durch die Arterie mit kreisförmigem Querschnitt der Fläche

A = π \cdot \frac{d^{2}}{4}

ströme Blut mit der Fließgeschwindigkeit

v

. Bei einer Änderung des Querschnitts im Verlauf der Arterie verändert sich auch die Fließgeschwindigkeit; das Produkt aus Querschnittsfläche und Geschwindigkeit bleibt dabei konstant.

Welche der folgenden Aussagen ist richtig? (bitte mit Begründung)

A)

Je größer die Querschnittfläche ist, umso höher ist die Fließgeschwindigkeit

B)

Nimmt der Durchmesser um die Hälfte ab, so wird sich eine verdoppelte Fließgeschwindigkeit des Blutes einstellen.

C)

Der Flächeninhalt des Querschnitts der Arterie ist direkt proportional zu ihrem Durchmesser.

D)

Nimmt der Durchmesser um die Hälfte zu, so verlangsamt sich die Strömung um

\frac{1}{4}

der ursprünglichen Geschwindigkeit.

E)

Wird in der Arterie eine Vervierfachung der Fließgeschwindigkeit festgestellt, so hat sich der Durchmesser der Arterie auf die Hälfte verringert.

anonymous

15:04 Uhr, 03.01.2017

Hallo
Das Problemchen dieser Aufgabe könnte darin bestehen, dass
"das Produkt aus Querschnittsfläche und Geschwindigkeit bleibt dabei konstant"
ein wenig wissenschaftlich fach-chinesisch klingt. Aber keine Sorge, ein wenig Nachdenken hilft, diesen eigentlich leicht verständlichen Zusammenhang auch in leicht begreifbares Alltagsverständnis zu fassen.
Mit ein wenig Nachdenken kannst du dir verständlich machen: Je enger die Arterie (das Röhrchen), desto schneller muss das Blut hier fließen, um die selbe Flüssigkeitsmenge in einer bestimmten Zeit zu transportieren.

Die Aufgabe geht hierbei von kreisförmigem Querschnitt aus.
Du hast schon selbst geschrieben: Für die Kreisfläche gilt:

A = π \cdot \frac{d^{2}}{4}

Also:

>

Wenn sich der Durchmesser verdoppelt, ver-4-facht sich die Querschnittsfläche.

>

Wenn sich der Durchmesser verdreifacht, ver.... sich die Querschnittsfläche (jetzt bist du dran!).

>

Wenn sich der Durchmesser halbiert,

...

. sich die Querschnittsfläche (jetzt bist du dran!).

>

Wenn sich der Durchmesser verdoppelt, wird die Geschwindigkeit hier im Verhältnis der Querschnittsflächen sinken. Also, die Geschwindigkeit sinkt auf den ...stel Teil der vorigen Geschwindigkeit (jetzt bist du dran!).

>

Wenn sich der Durchmesser verdreifacht, sinkt die Geschwindigkeit auf den ...stel Teil der vorigen Geschwindigkeit (jetzt bist du dran!).

>

Wenn sich der Durchmesser halbiert, ändert sich die Geschwindigkeit auf das

...

. der vorigen Geschwindigkeit (jetzt bist du dran!).

Du wirst sehen, wenn du dir das erst mal klar gemacht hast, dann ist die Beantwortung der Fragen

A) - E)

ein Kinderspiel.
Fang mal an! Denk mal nach! Gib mal deine Gedankengänge bekannt. Wir sind gerne bereit, zu versichern, zu kommentieren, zu helfen, zu unterstützen, zu korrigieren...

matheass12345 aktiv_icon

17:28 Uhr, 03.01.2017

Bei einer verdreifachung: ver6facht sich der Spaß
und bei einer halbierung: verkleinert es sich um das 2 fache, oder?

anonymous

18:50 Uhr, 03.01.2017

Hallo

1 .)

Wir haben hier offensichtlich mit mehreren Größen zu tun, nämlich mit Durchmessern, Querschnittsflächen, Geschwindigkeiten und Spaß.
Ich hatte dich gefragt:

a)

Wenn sich der Durchmesser verdreifacht, ver... sich die Querschnittsfläche.

b)

Wenn sich der Durchmesser verdreifacht, sinkt die Geschwindigkeit auf den ...stel Teil der vorigen Geschwindigkeit.

Deine Antwort lautete:
"Bei einer verdreifachung: ver6facht sich der Spaß"
Auch wenn ich mir sehr, sehr wünschte, dass das uns allen Spaß machte, es lässt doch offen und unklar, ob du nun bei der Frage

a)

und der Querschnittsfläche bist, oder ob du bei

b)

und der Geschwindigkeit bist.

2 .)

Ich nehme mal an, dass du noch bei der Querschnittsfläche bist. Wie auch immer, deine Antwort ist falsch.
Die Formel

A = π \cdot \frac{d^{2}}{4}

lässt mit ein wenig Übung sehen, dass es sich um einen quadratischen Zusammenhang handelt. Wenn du noch unsicher bist oder noch wenig Übung, dann mach doch einfach mal ein Zahlenbeispiel.

Nehmen wir an, die Ader hätte ursprünglich einen Durchmesser von 1cm.

>

Wie groß ist dann diese ursprüngliche Querschnitts-Kreisfläche?

>

Wenn wir jetzt den Durchmesser auf 2cm verdoppeln, wie groß ist dann die neue Querschnitts-Kreisfläche?

>

Das wieviel-fache ist das der ursprünglichen Kreisfläche?

>

Wenn wir jetzt den Durchmesser auf 3cm verdreifachen, wie groß ist dann die neue Querschnitts-Kreisfläche?

>

Das wieviel-fache ist das der ursprünglichen Kreisfläche?

>

Wenn wir jetzt den Durchmesser auf 0.5cm halbieren, wie groß ist dann die neue Querschnitts-Kreisfläche?

>

Das wieviel-fache ist das der ursprünglichen Kreisfläche?

matheass12345 aktiv_icon

03:41 Uhr, 04.01.2017

>

Wie groß ist dann diese ursprüngliche Querschnitts-Kreisfläche?

>

Wenn wir jetzt den Durchmesser auf 2cm verdoppeln, wie groß ist dann die neue Querschnitts-Kreisfläche?

- \to π

>

Das wieviel-fache ist das der ursprünglichen Kreisfläche?

- \to

das 3/4vierfache

>

Wenn wir jetzt den Durchmesser auf 3cm verdreifachen, wie groß ist dann die neue Querschnitts-Kreisfläche?

2,25 π

>

Das wieviel-fache ist das der ursprünglichen Kreisfläche? das

2,25

fache

>

Wenn wir jetzt den Durchmesser auf 0.5cm halbieren, wie groß ist dann die neue Querschnitts-Kreisfläche?

\frac{1}{16} π

>

Das wieviel-fache ist das der ursprünglichen Kreisfläche?

- \to

es hat sich um das

\frac{3}{16}

fache verkleinert...

matheass12345 aktiv_icon

03:58 Uhr, 04.01.2017

achh.. ok habs verstanden!!! nur eine Frage(also

E

is richtig): kann man auch von einem "vielfachen" sprechen, wenn verkleinert wird? also

\frac{1}{16}

ist ja das "vierfache" von

\frac{1}{4},

nur ist der Wert ja kleiner als

\frac{1}{4},

und unter etwas vervielfachen verstehe ich, dass es größer wird...^^

Edddi aktiv_icon

09:21 Uhr, 04.01.2017

. .

. ich muss dich entäuschen, aber das Vierfache von

\frac{1}{4}

ist 1 und NICHT

\frac{1}{16}!

\frac{1}{4} \cdot 4 = 1

\frac{1}{16}

ist ein Viertel von

\frac{1}{4}

;-)

anonymous

10:48 Uhr, 04.01.2017

Hallo
Um das Erfreuliche vorweg zu stellen: Ja, die Antwortalternative

E)

ist richtig.
Keine Ahnung wie du drauf gekommen bist.
Wenn du noch lernen willst, dann lass uns doch nochmals Schritt für Schritt die Dinge abhandeln. So Grauslich wie, wie es oben steht, möchte ich es nicht gerne stehen lassen.

Und bitte merke dir: eine Querschnittsfläche kann nicht

π

oder

2.25 \cdot π

oder 3/4vierfache sein, solange du keine Einheiten benennst. Eine Fläche hat die Einheit

m^{2}

oder, da ich für den Durchmesser cm angesprochen hatte, die Einheit cm^2. Sonst ist das etwa so sinnarm wie

1500

Mehl, oder

22

weit laufen, oder in 3 abholen.

Also bitte Schritt für Schritt:
Nehmen wir an, die Ader hätte ursprünglich einen Durchmesser von 1cm.

a)

Wie groß ist dann diese ursprüngliche Querschnitts-Kreisfläche?

b)

Wenn wir jetzt den Durchmesser auf 2cm verdoppeln, wie groß ist dann die neue Querschnitts-Kreisfläche?

c)

Das wieviel-fache ist das der ursprünglichen Kreisfläche?

d)

Wenn wir jetzt den Durchmesser auf 3cm verdreifachen, wie groß ist dann die neue Querschnitts-Kreisfläche?

e)

Das wieviel-fache ist das der ursprünglichen Kreisfläche?

f)

Wenn wir jetzt den Durchmesser auf 0.5cm halbieren, wie groß ist dann die neue Querschnitts-Kreisfläche?

g)

Das wieviel-fache ist das der ursprünglichen Kreisfläche?

matheass12345 aktiv_icon

18:01 Uhr, 04.01.2017

Also bitte Schritt für Schritt:
Nehmen wir an, die Ader hätte ursprünglich einen Durchmesser von 1cm.

a)

Wie groß ist dann diese ursprüngliche Querschnitts-Kreisfläche?

\to \frac{1}{4} π

b)

Wenn wir jetzt den Durchmesser auf 2cm verdoppeln, wie groß ist dann die neue Querschnitts-Kreisfläche?

π

c)

Das wieviel-fache ist das der ursprünglichen Kreisfläche?

\to

das vierfache

d)

Wenn wir jetzt den Durchmesser auf 3cm verdreifachen, wie groß ist dann die neue Querschnitts-Kreisfläche?

\frac{9}{4} π

e)

Das wieviel-fache ist das der ursprünglichen Kreisfläche?
das

2,25 π

fache (oder nicht???)

f)

Wenn wir jetzt den Durchmesser auf 0.5cm halbieren, wie groß ist dann die neue Querschnitts-Kreisfläche?1/16

π

g)

Das wieviel-fache ist das der ursprünglichen Kreisfläche?
das

0,25

fache oder nicht?

matheass12345 aktiv_icon

18:01 Uhr, 04.01.2017

Also bitte Schritt für Schritt:
Nehmen wir an, die Ader hätte ursprünglich einen Durchmesser von 1cm.

a)

Wie groß ist dann diese ursprüngliche Querschnitts-Kreisfläche?

\to \frac{1}{4} π

b)

Wenn wir jetzt den Durchmesser auf 2cm verdoppeln, wie groß ist dann die neue Querschnitts-Kreisfläche?

π

c)

Das wieviel-fache ist das der ursprünglichen Kreisfläche?

\to

das vierfache

d)

Wenn wir jetzt den Durchmesser auf 3cm verdreifachen, wie groß ist dann die neue Querschnitts-Kreisfläche?

\frac{9}{4} π

e)

Das wieviel-fache ist das der ursprünglichen Kreisfläche?
das

2,25 π

fache (oder nicht???)

f)

Wenn wir jetzt den Durchmesser auf 0.5cm halbieren, wie groß ist dann die neue Querschnitts-Kreisfläche?1/16

π

g)

Das wieviel-fache ist das der ursprünglichen Kreisfläche?
das

0,25

fache oder nicht?

Enano

18:57 Uhr, 04.01.2017

"d)Wenn wir jetzt den Durchmesser auf 3cm verdreifachen, wie groß ist dann die neue Querschnitts-Kreisfläche? 9/4π cm

e)

Das wieviel-fache ist das der ursprünglichen Kreisfläche?
das 2,25π fache (oder nicht???)"

Wieso bist du dir da so unsicher? Du sollst doch nicht raten, sondern rechnen.

Die ursprüngliche Kreisfläche betrug bei einem Durchmesser von 1cm,

\frac{π}{4}

cm^2 und bei 3cm Durchmesser beträgt sie

\frac{9}{4} \cdot π

cm^2.
Wie viel mal musst du

\frac{1}{4} \cdot π

nehmen, damit du auf

\frac{9}{4} \cdot π

kommst oder wie oft sind

\frac{1}{4} \cdot π

in(nerhalb)

\frac{9}{4} \cdot π

enthalten?
Rechnerisch bedeutet das:

x \cdot \frac{1}{4} \cdot π = \frac{9}{4} \cdot π \to x = \frac{9}{4} \cdot π \cdot \frac{4}{π} = 9

Da wo nach Flächengröße gefragt wurde, schreibst du als Einheit cm und nicht cm^2. Warum?

matheass12345 aktiv_icon

19:01 Uhr, 04.01.2017

warum ist nun

E

richtig? :-D)

Enano

19:12 Uhr, 04.01.2017

3 : 58

hattest du doch alles verstanden und bist selbst auf

E

gekommen.
Wie?

matheass12345 aktiv_icon

19:13 Uhr, 04.01.2017

ja, und Eddi hat mir doch wiedersprochen? :-D)

Enano

19:16 Uhr, 04.01.2017

Ja, aber er hat nicht geschrieben, dass

E

nicht richtig ist.
Aber nicht ablenken, sondern schreiben, wie du auf

E

gekommen bist.

matheass12345 aktiv_icon

19:18 Uhr, 04.01.2017

naja, setzt man

0,5

für

d

ein, erält man

\frac{1}{4},

was mit 4 multipliziert

\frac{1}{16}

ist, also

\frac{1}{4}

ist das vierfache von

\frac{1}{16} . .

Enano

19:29 Uhr, 04.01.2017

"...,setzt man

0,5

für

d

ein, erält man 1/4,..."
rechnerisch richtig!
...was durch 4 dividiert

\frac{1}{16}

ergibt.
Und wie gehts weiter?

matheass12345 aktiv_icon

19:30 Uhr, 04.01.2017

damit ist doch schon

E

bewiesen ? :-D)

Enano

19:32 Uhr, 04.01.2017

Für mich und deinen Lehrer sicher nicht!
Nur weil

\frac{1}{4} : 4 = \frac{1}{16}

ist?

matheass12345 aktiv_icon

19:34 Uhr, 04.01.2017

?????

E :

Geschwindigkeit ein vierfaches vom Durchmesser

(0,5)

. Ist es doch... ich verstehe nicht, wo man sich noch aufhalten soll

Enano

19:37 Uhr, 04.01.2017

Na gut, wenn du damit zufrieden bist, bin ich es auch.

anonymous

22:02 Uhr, 04.01.2017

Hallo
Also, die richtigen Antworten wären gewesen:

a)

Die Querschnittsfläche eines Kreises mit Durchmesser 1cm beträgt:

A_{1} = \frac{π}{4} \cdot (1

cm)^2

= \frac{π}{4}

cm^2

b)

Die Querschnittsfläche eines Kreises mit auf 2cm verdoppeltem Durchmesser beträgt:

A_{2} = \frac{π}{4} \cdot (2

cm)^2

= π

cm^2

c)

Ja, die Kreisfläche bei verdoppeltem Durchmesser ist viermal so groß.

d)

Die Querschnittsfläche eines Kreises mit auf 3cm verdreifachtem Durchmesser beträgt:

A_{3} = \frac{π}{4} \cdot (3

cm)^2

= π \cdot \frac{9}{4}

cm^2

e)

\frac{A_{3}}{A_{1}} = π \cdot \frac{9}{4}

cm^2

/ (\frac{π}{4}

cm^2)

= 9

also: Die Kreisfläche bei verdreifachtem Durchmesser ist neunmal so groß,
( denn

3^{2} = 9)

f)

Die Querschnittsfläche eines Kreises mit auf 0.5cm halbiertem Durchmesser beträgt:

A_{0} . 5 = \frac{π}{4} \cdot (0.5

cm)^2

= \frac{π}{16}

cm^2

g)

A_{0} . \frac{5}{A_{1}} = \frac{π}{16}

cm^2

/ (\frac{π}{4}

cm^2)

= \frac{1}{4}

also: Die Kreisfläche bei halbiertem Durchmesser ist ein Viertel so groß,
( denn

{(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4})

.

Wenn du so systematisch gearbeitet hättest, dann hättest du vielleicht allmählich erkennen können:
Wenn du den Durchmesser um Faktor

x

vergrößerst,
dann wächst die Kreisfläche um Faktor

x^{2}

.

Also:

>

Ein 7-facher Durchmesser führt zu 49-facher Kreisfläche, denn

49 = 7^{2}

>

Ein 10-facher Durchmesser führt zu 100-facher Kreisfläche, denn

100 = 10^{2}

>

Ein 205-facher Durchmesser führt zu 42025-facher Kreisfläche, denn

42025 = 205^{2}

>

Ein 1/3-Durchmesser führt zu

\frac{1}{9}

Kreisfläche, denn

\frac{1}{9} = {(\frac{1}{3})}^{2}

>

Ein 1/8-Durchmesser führt zu

\frac{1}{64}

Kreisfläche, denn

\frac{1}{64} = {(\frac{1}{8})}^{2}

.

Wenn das denn mal so langsam klar geworden ist, dann könntest du ja mal anfangen, die restlichen Fragen nach den Geschwindigkeiten ebenso systematisch anzugehen und zu beantworten:

Wenn sich der Durchmesser verdoppelt, wird die Geschwindigkeit hier im Verhältnis der Querschnittsflächen sinken. Also, die Geschwindigkeit sinkt auf den ...stel Teil der vorigen Geschwindigkeit (jetzt bist du dran!).

Wenn sich der Durchmesser verdreifacht, sinkt die Geschwindigkeit auf den ...stel Teil der vorigen Geschwindigkeit (jetzt bist du dran!).

Wenn sich der Durchmesser halbiert, ändert sich die Geschwindigkeit auf das

. .

. der vorigen Geschwindigkeit (jetzt bist du dran!).

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