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Reelle Zahlenfolge, Beweis Cauchyfolge

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Folgen und Reihen

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Janiva91

Janiva91 aktiv_icon

08:28 Uhr, 22.11.2014

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Hallo Zusammen,

mich lässt gerade folgende Aufgabe verzweifeln...

Sei

{(a_{n})}_{n \in ℕ}

eine reelle Zahlenfolge mit der Eigenschaft :

⌊ a_{n + 1} - a_{n} ⌋ \leq q ⌊ a_{n} - a_{n - 1} ⌋ \forall n \geq 2,

wobei

0 \leq q < 1

. Zeigen Sie, dass

{(a_{n})}_{n \in ℕ}

eine Cauchyfolge ist.
Zeigen sie zunächst, dass

⌊ a_{n + 1} - a_{n} ⌋ \leq q^{n - 1} ⌊ a_{2} - a_{1} ⌋

und

a_{n + l} - a_{n} = \sum_{k = n}^{n + l - 1} (a_{k + 1} - a_{k})

für

l \in ℕ

Ich finde leider nicht mal einen Ansatz für die Aufgabe. Hoffe mir kann jemand helfen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

10:52 Uhr, 22.11.2014

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Hallo,

Du hast bei der Eigenschaft der Folge einen Faktor

q

vergessen.

Jedenfalls benutzt man diese Eigenschaft immer wiederholt:

| a_{n + 1} - a_{n} | \leq q \cdot | a_{n} - a_{n - 1} | \leq q^{2} \cdot | a_{n - 1} - a_{n - 2} | ... .

.

Ansonsten sind alle notwendigen Ideen in Deinem Hinweis enthalten - vielleicht noch das Stichwort "Teleskopreihe".

Gruß pwm

Janiva91

Janiva91 aktiv_icon

13:45 Uhr, 22.11.2014

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Danke für den Hinweis mit der Teleskopsumme. Habe jetzt den ersten Teil wie folgt gezeigt:

\sum_{k = n}^{n + l - 1} (a_{k + 1} - a_{k}) = (a_{n + 1} - a_{n}) + (a_{(n + 1) + 1} - a_{n + 1}) + (a_{(n + 2) + 1} - a_{n + 2}) + ... + (a_{(n - 1 + l - 1) + 1} - a_{n - 1 + l - 1}) + (a_{(n + l - 1) + 1} - a_{n + l - 1})

Da sieht man dann ja, dass sich immer alle Glieder aufheben, außer

a_{n + l}

und

- a_{n}

reicht das als Beweis so aus?

Bei dem nächsten Hinweis hackt es allerdings auch wieder.

Muss ich aufgrund der Bedingung, dass

0 \leq q < 1

eine Fallunterscheidung machen? Wenn

q = 0

wäre würde die Aussage aber doch nicht stimmen oder?

Antwort

pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

17:45 Uhr, 22.11.2014

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Was würde für

q = 0

nicht stimmen? Im übrigen ist der Fall

q = 0

trivial, weil dann die Folge konstant wäre.

Gruß pwm

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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