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Reihe berechnen

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gonnabeph

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16:28 Uhr, 12.06.2014

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Hallo, ich soll den Wert der folgenden Reihe angeben.

∑n=1∞6n(3n+1-2n+1)(3n-2n)

Meine Ideen dazu sind:

Ich denke durch die ganzen n im Exponenten läuft alles auf eine geometrische Reihe hinaus. Um die Form zu erhalten habe ich folgendes gemacht:

Ich habe es zuerst einmal versucht indem ich den Nenner ausmultiplizierte, leider hat mich das auch nicht weiter gebracht. Dadurch kann ich den Bruch nicht sinnvoll aufsplitten.

Mein zweiter Versuch war zu Beginn direkt eine Indexverschiebung zu machen also von n=0 zu starten. Dadurch hat sich der Exponent jeweils um n+1 erhöht. Leider hat mich das auch nicht weiter gebracht. Wie soll ich das denn sonst auf eine geometrische Reihe zurückführen bzw. ist das überhaupt der richtige Ansatz?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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DrBoogie

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15:15 Uhr, 13.06.2014

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Eine sehr interessante Aufgabe! Ich versuche schon seit Stunden, eine Lösung zu finden und immer noch vergebens. :(
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pwmeyer

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16:32 Uhr, 13.06.2014

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Hallo,

G hat zwar an anderer Stelle meine Tipps als unzureichend kritisiert. Trotzdem: Ich frage mal, ob die Aufgabe korrekt widergegeben ist oder ob die Aufgabe vielleicht nur lautet, auf Konvergenz zu überprüfen.

Gruß pwm
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DrBoogie

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16:55 Uhr, 13.06.2014

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Ich hab's numerisch berechnet, da kommt 2 raus. Bei so einem schönen Wert glaube ich schon, dass die Berechnung möglich sein muss. :-)
gonnabeph

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18:57 Uhr, 13.06.2014

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Doch, die Aufgabe lautet Wortgenau:

Berechnen Sie ∑n=1∞6n(3n+1-2n+1)(3n-2n).

Ich bin wirklich überfragt wie ich es anstellen soll ...
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pwmeyer

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19:28 Uhr, 13.06.2014

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Hallo,

ich habe keine Idee, daher: Zu welcher Vorlesung gehört dieses Aufgabe? Welche Themen sind da aktuell dran?

Gruß pwm
gonnabeph

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19:47 Uhr, 13.06.2014

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Das ist eine Aufgabe aus Ana1. Wir haben momentan das Thema Konvergenzkriterien und den Verdichtungssatz von Cauchy. Irgendwie muss doch die Aufgabe zu lösen sein ... :-(
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pwmeyer

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20:37 Uhr, 13.06.2014

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Hallo,

rechne mal nach:

2n3n-2n-2n+13n+1-2n+1=(3⋅6n-22⋅n+1)-(6n⋅2-22⋅n+1)(3n-2n)⋅(3n+1-2n+1)=6n(3n-2n)⋅(3n+1-2n+1)

(oder habe ich mich verguckt?) Dann wäre die Reihe eine Teleskopreihe und hätte den Wert 2.

Gruß pwm
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DrBoogie

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21:20 Uhr, 13.06.2014

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Pwmeyer, Du bist der Größte!!! :-)
gonnabeph

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22:03 Uhr, 13.06.2014

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Wow, dass ist nicht nur genial sondern auch ziemlich elegant!

Eine Frage zu der Umformung habe ich allerdings noch.

2n3n-2n-2n+13n+1-2n+1=2n⋅3n+1-2n+1⋅3n(3n-2n)(3n+1-2n+1)

Wie forme ich denn ab hier weiter um?


Wenn ich nun die Reihe ∑n=1∞2n3n-2n-2n+13n+1-2n+1 betrachte dann istdie n-te Partialsumme: Sn=(2-45)(+(45-819)+(819-1665)+...+(2n3n-2n-3n+13n+1-2n+1)

Dann ist limn→∞Sn=2
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DrBoogie

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22:09 Uhr, 13.06.2014

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3n+12n-3n2n+1=3⋅3n2n-2⋅3n2n=3⋅6n-2⋅6n=6n
gonnabeph

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22:57 Uhr, 13.06.2014

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Nach welcher Regel darf man denn 2n⋅3n zusammenfassen?

Schonmal lieben Dank!
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DrBoogie

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23:03 Uhr, 13.06.2014

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Das 6. von oben Potenzgesetz hier:
http//de.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik)
(suche die Rubrik "Potenzgesetze")
Frage beantwortet
gonnabeph

gonnabeph aktiv_icon

23:20 Uhr, 13.06.2014

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Ah ja, jetzt ist alles klar. Ich bedanke mich für die tolle Hilfe!

Bis zum nächsten mal! :-)