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Erwartungswert

Tags: Erwartungswert

andyi aktiv_icon

07:33 Uhr, 18.05.2015

Aufgabe:
Beim Roulette mit den Feldern von 0,1, ... 36 gibt es einige verschiedene Setzmöglichkeiten, allerdings gilt im Wesentlichen

Ich darf nicht auf die Null setzen
Mein Einsatz bei Gewinn(Treffer) wird mit dem Faktor

\frac{36}{A n z a h l d e r g e s e t z t e n F e l d e r}

vervielfacht.

a) Berechne den Erwartungswert und die Varianz beim wiederholten Spielen mit 10 €, wenn immer auf n Felder gesetzt wird.

b) Als Alternative zum "Roulette" schlägt euch euer "Übungsleiter" folgendes Spiel vor: Ihr zahlt einen Einsatz von 37€ und bekommt sofort 36€ zurück. Wie unterscheidet sich dieses "Spiel" vom klassischen Roulette?

Kann mir jemand vielleicht den Ansatz zu a) geben?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

13:25 Uhr, 18.05.2015

Hallo
"Mein Einsatz bei Gewinn(Treffer) wird mit dem Faktor
36/(Anzahl der gesetzten Felder)
vervielfacht."
Das dürfte so zu verstehen sein:

>

Angenommen, du setzt auf

n = 1

Feld

〉

so wird bei Gewinn (die Roulettkugel fällt tatsächlich auf dein Feld) dein Einsatz um den Faktor

\frac{36}{1}

vervielfacht.

〉

so ist bei Verlust (die Roulettkugel fällt auf ein anderes Feld) dein Einsatz weg.

>

Angenommen, du setzt auf

n = 2

Felder

〉

so wird bei Gewinn um den Faktor

\frac{36}{2}

vervielfacht.

〉

so ist bei Verlust (die Roulettkugel fällt auf andere Felder) dein Einsatz weg.

> u . s . w

.

Na, jetzt sollte das aber nicht mehr schwer sein.
Viel Erfolg!

andyi aktiv_icon

07:33 Uhr, 22.05.2015

Also für den Erwartungswert bekomme ich dann

E (X) = \frac{1}{37} * 10 € * \frac{36}{1} + \frac{1}{37} * \frac{1}{36} * 10 € * \frac{36}{2} + \frac{1}{37} * \frac{1}{36} * \frac{1}{35} * 10 € * \frac{36}{3} + . . . + \frac{1}{37} * \frac{1}{36} * \frac{1}{35} * . . . * \frac{1}{36 - (n - 1)} * 10 € * \frac{36}{n}

Vermutlich ist es falsch oder nicht ?

anonymous

13:31 Uhr, 22.05.2015

Ja, ich denke es ist falsch.
Um deine und unsere Gedanken zu ordnen: Versuch's doch mal Schritt für Schritt, so wie ich es oben angefangen habe. Sonst ist das nur ein unübersichtlicher Zahlensalat.
Also:

a)

Angenommen, du setzt auf

n = 1

Feld.
Wie groß ist deine Gewinnerwartung?

b)

Angenommen, du setzt auf

n = 2

Felder.
Wie groß ist deine Gewinnerwartung?

c)

Angenommen, du setzt auf

n = 3

Felder.
Wie groß ist deine Gewinnerwartung?

Roman-22

13:48 Uhr, 22.05.2015

Ja, das ist leider falsch, und zwar aus mind. zwei Gründen.
Erstens berücksichtigst du deinen Einsatz nicht. Falls du also auf zwei Zahlen gesetzt hast und gewinnst, kommen zwar

\frac{36}{2} \cdot 10

€

= 180

€ zur Auszahlung, in Summe lukrierst du aber nur

170

€, falls du gewinnst.

Der zweite Fehler stammt möglicherweise daher, dass dir nicht klar, ist, was es bedeutet, wenn man im Roulette auf mehrere Zahlen setzt. Du unterstellst etwa für

n = 2

eine Gewinnwahrscheinlichkeit von

\frac{1}{37} \cdot \frac{1}{36}

. Du rechnest also so, als ob du zweimal ohne Zurücklegen eine Zahl ziehen würdest und du beide gesetzten Zahlen (noch dazu in einer bestimmten Reihenfolge) erwischen müsstest. Das passt so gar nicht zum Roulette. Wenn du beim Roulette auf zwei Zahlen setzt, dann erhöhen sich deine Gewinnchancen auf

\frac{2}{37},

deswegen verringert sich ja auch der Faktor, mit dem dein Einsatz im Gewinnfall multipliziert wird.
Im Extremfall kannst du ja auf

36

Zahlen setzen (auch in der Praxis, zB 5€ auf Rot und 5€ auf schwarz), die Gewinnwahrscheinlichkeit ist

\frac{36}{37}

und dein "Gewinn" beträgt

\frac{36}{36} \cdot 10

€

- 10

€=0 €. Im Falle eines Verlustes (hier mit Wkt

\frac{1}{37},

nämlich wenn 0 kommt) ist dein Gewinn immer mit

- 10

€ zu verbuchen.

Deine Gewinnerwartung beim Spielen mit

n = 36

ist also

0 \cdot \frac{36}{37} + (- 10) \cdot \frac{1}{37}

Deine Gewinnerwartung beim Spielen mit

n = 1

ist

(\frac{36}{1} \cdot 10 - 10) \cdot \frac{1}{37} + (- 10) \cdot \frac{36}{37}

Du sollst aber lt Aufgabe nicht alle Erwartungswerte für alle möglichen Werte für

n

addieren, sondern für ein bestimmtes, aber allgemeines

n,

den Erwartungswert angeben.
Du solltest soweit vereinfachen um zu erkennen, dass das Ergebnis unabhängig von

n

ist. Die Lösung steht ja quasi schon in der Angabe von

b) -

der Unterschied wird wohl in der Streuung liegen.

andyi aktiv_icon

14:57 Uhr, 22.05.2015

Hi, also wieder vielen Dank für die ausführlichen Erklärungen

Bei a) kommt als Erwartungswert

E (X) = (\frac{36}{n} * 10 - 10) * \frac{n}{37} + (- 10) * \frac{(37 - n)}{37} = \frac{- 10}{37}

und als Varianz

V (X) = E ((X - E (X))^{2}) = \sum_{i = 1}^{36} [(\frac{36}{i} * 10 - 10) + \frac{10}{37}]^{2} * \frac{i}{37}

als Ergebnis raus.

Bei b) wäre der Erwartungswert ja dann

- 1 €

und bei a ist er eben kleiner nämlich

- 0, 25 €

Gruß andi

andyi aktiv_icon

15:03 Uhr, 22.05.2015

Hi, vielen Dank wieder für die ausführlichen Erklärungen

Bei a) kommt als Erwartungswert

E (X) = (\frac{36}{n} * 10 - 10) * \frac{n}{37} + (- 10) * \frac{(37 - n)}{37} = \frac{- 10}{37}

und als Varianz

V (X) = E ((X - E (X))^{2}) = \sum_{i = 1}^{36} [(\frac{36}{i} * 10 - 10) + \frac{10}{37}]^{2} * \frac{i}{37}

bei b) ist der Erwartungswert

E (X) = - 1 €

und somit kleiner als bei a

Roman-22

15:37 Uhr, 22.05.2015

Nein! Der Erwartungswert ist in beiden Fällen -1/37*Einsatz! Da gibt es keinen Unterschied zwischen

b)

und dem klassischen Roulette.
Natürlich ist der Erwartungswert direkt proportional zur Höhe des Einsatzes. So gesehen ist die Aufgabe nicht sehr glücklich formuliert, da in

a)

und

b)

mit

10

€ bzw.

37

€ von unterschiedlichen Einsätzen ausgegangen wird.
Trotzdem bin ich mir sicher, dass der Sinn der Aufgabe darin besteht, zu erkennen, dass bei beiden "Spielen" der Erwartungswert gleich ist, der Unterschied aber in der Streuung zu suchen ist.

Deine Varianz ist auch falsch. Du musst dir im Klaren darüber werden, was deine Zufallsvariable

X

eigentlich sein soll!

X

ist hier der Ausgang bei einer Drehung beim Roulette und kann daher nur zwei Werte annehmen: die Summe die du gewinnst oder jene, die du verlierst. Und das bei festem, aber eben allgemeinem

n

.

Die Varianz ist natürlich abhängig von

n

und variiert von 34,08*Einsatz² für

n = 1

bis 0,026*Einsatz² für

n = 36

.

Für

n = 37

würden wir dann das Spiel von Aufgabe

b)

haben: Du "gewinnst" immer und erhältst jedes Mal

\frac{36}{37}

deines Einsatzes ausbezahlt. De facto verlierst du bei jedem Spiel

\frac{1}{37}

deines Einsatzes - immer - keine Streuung und die Varianz ergibt sich daher mit 0.

Ganz stimmt die obige Rechnung nicht mit der Realität überein, da beim Setzen auf einfache Chancen, also solche, bei denen man bei Gewinn den doppelten Einsatz lukriert, die Einsätze nicht vom Tisch genommen werden un dbei der nächsten Drehung wieder mitspielen. Beim Setzen auf Rot/Schwarz oder Gerade/Ungerade gibt es also keinen Vorteil fürs Casino, der Erwartungswert ist eine faire Null und das Spiel ist hinreichend langweilig.

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