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Sarrus Regel oder Entwicklung nach Zeile / Spalte

Universität / Fachhochschule

Determinanten

Matrizenrechnung

Tags: Determinanten, Matrizenrechnung

benjamin1581 aktiv_icon

13:09 Uhr, 28.07.2010

Danke für eure Hilfe im Vorfeld. Wenn ich das chrakteristische Polynom ermittel möchte bei einer

3 x 3

Matrix muss ich es dann über die Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte machen oder kann ich die Sarrus Regel wie bei

4 x 4

Matrizen anwenden???

Bsp:

1234

5678

9101112

13141516

Bei Sarrus könnte ich:

= 1 \cdot 6 \cdot 11 \cdot 16 + 2 \cdot 7 \cdot 12 \cdot 13 + 3 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 14 + 4 \cdot 5 \cdot 10 \cdot 15 - 13 \cdot 10 \cdot 7 \cdot 4 - 14 \cdot 11 \cdot 8 \cdot 1 - 5 \cdot 12 \cdot 5 \cdot 2 - 16 \cdot 9 \cdot 6 \cdot 3

= 1200

Wäre das mathematisch richtig, weil wenn ich die Eigenwerte berechen müsste könnte ich dies mit Sarrus?!?

Mfg Benjamin

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Alx123 aktiv_icon

13:53 Uhr, 28.07.2010

Hallo,
du kannst Determinanten so berechnen wie du willst, die Regel von Sarrus gilt aber nur für

3 \times 3

- Matrizen. Du hast also die Determinante falsch berechnet, wenn man hier nach einer Zeile/Spalte entwickeln will, sollte man zuvor noch die Determinante umformen:

∣ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{array} ∣ \begin{array}{c} ∣ Z_{4} - Z_{3} \end{array}

\overset{}{\Leftrightarrow} ∣ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array} ∣ \begin{array}{c} ∣ Z_{3} - Z_{2} \end{array}

\overset{}{\Leftrightarrow} ∣ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \end{array} ∣

Wie man jetzt sieht sind zwei Zeilen gleich, also ist die Determinante

0

benjamin1581 aktiv_icon

14:14 Uhr, 28.07.2010

Aber was ist wenn ich die Eigenwerte bei einer

4 x 4

Matrix berechen wollte?

Rechenweg:

1234

5678

9101112 - λ \cdot

Einheitsmatrix = Charakteristisches polynom

13141516

und dann kann ich aus dem polynom die Eigenwerte ermitteln über die Üblichen Verfahren. Aber wie komme ich auf das ploynom kennst du oder ihr den weg???????

danke benjamin

Alx123 aktiv_icon

14:18 Uhr, 28.07.2010

Ja du entwickelst einfach nach einer Zeile/Spalte oder benutzt ein anderes Verfahren, oder wo liegt das Problem jetzt?

benjamin1581 aktiv_icon

14:24 Uhr, 28.07.2010

Sorry Brett vorm Kopf gehabt!
Glaube habe es Verstanden, rechne hier mit dem entwicklungssatz von laplace, ziehe aber vorher von der matrix

λ \cdot

die Einheitsmatrix ab!? Bekomme dann eine

3 x 3

Matrix und kann dann wieder die Eigenwete über Sarrus berechenen!?

mfg ben

Alx123 aktiv_icon

14:29 Uhr, 28.07.2010

Du berechnest folgende Determinante:

\det (M - λ \cdot E) = ∣ \begin{array}{cccc} 1 - λ & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 - λ & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 - λ & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 - λ \end{array} ∣

Hier kannst du nichts vorziehen, du benutzt sofort den Entwicklungssatz. Damit erhälst du ( leider ) vier

3 \times 3

- Determinanten, die kannst du dann mit der Regel von Sarrus berechnen.

benjamin1581 aktiv_icon

17:10 Uhr, 28.07.2010

Werde zu morgen dir mein ergebniss mitteilen wäre super wenn du es dir dann mal anschauen könntest.

mfg benjamin

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