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Schmiegquadrik euklidische Normalform bestimmen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Mehrdimensionale Funktion, Schmiegquadrik, Taylorpolynom

AlexBee aktiv_icon

09:33 Uhr, 05.07.2015

Guten Morgen,

Gegeben ist folgende Funktion aus dem

R^{2} :

f (x, y) = e^{3 y} - 3 x \cdot e^{y} + x^{3}

Bei dieser Funktion sollen erst die kritischen Stellen und deren Typ bestimmt werden.

Die beiden ersten Ableitungen in

x

bzw

y

Richtung ergeben sich durch:

\nabla f (x, y) = (\begin{matrix} - 3 e^{y} + 3 x^{2} \\ 3 e^{3 y} - 3 x \cdot e^{y} \end{matrix})

setzte ich diesen Gradienten gleich Null erhalte ich als einzigen Punkt

P = (1,0)

Nimmt man nun die Hessematrik am Punkt

(1,0)

so sieht man:

det (H f (1,0)) = 27 > 0

Da fx

x (1,0) = 6 > 0

liegt hier ein lokales Minimum vor.

An diesem Punkt soll nun die Schmiegquadrik bestimmt werden. Diese ergibt sich ja aus dem Taylorpolymon 2. Stufe an diesem Punkt.

T = f (1,0) + (x, y) \cdot \nabla f (1,0) + {(x, y)}^{T} \cdot H f (1,0) \cdot (x, y)

Ausmultipliziert ergibt das das (unschöne) Polynom:

= 3 x^{2} - 3 x^{2} \cdot y^{2} + 6 x \cdot y^{2} - 6 x - 6 y + 5

Nun soll man das in die euklidische Normalform bringen.

Dazu meine Frage: Wie gehe ich hier am besten vor? Ich hatte die Idee die Hessematrix zu diagonalisieren und damit das Polynom zu berechnen, denke aber nicht dass das so einfach geht.

Ich bedanke mich schonmal für alle Antworten.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

10:44 Uhr, 05.07.2015

Hallo,

T

sollte ein quadratisches Polynom sein. Was Du hingeschrieben hast, ist aber keins. Vielleicht solltest Du mal Deine Rechnung posten.

Gruß pwm

AlexBee aktiv_icon

10:40 Uhr, 06.07.2015

Stimmt... da habe ich in der Tat Mist gebaut beim Ausmultiplizieren

Natürlich muss das heißen:

T = - 1 + 3 {(x - 1)}^{2} + 3 y^{2} + (- 3) \cdot (x - 1) y

= - 1 + 3 x^{2} - 6 x + 3 + 3 y^{2} - 3 x \cdot y + 3 y

pwmeyer aktiv_icon

11:08 Uhr, 06.07.2015

Hallo,

es ist nicht sinnvoll die Schmiegequadrik als Polynom in

x

und

y

zu schreiben, sondern als Polynom in

(x - 1)

und

y,

weil man ja damit das lokale Verhalten von von

f

beschreiben will.

Jedenfalls sollst Du dann die Normalform bestimmen und dazu musst Du wohl die Hessematrix diagonalisieren.

Gruß pwm

AlexBee aktiv_icon

13:30 Uhr, 06.07.2015

Gut...

die Hessematrix ergibt ja diagonalisert:

(\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 9 \end{matrix})

Das einzige Problem ist, dass ich nun nicht weiß wie ich genau fortfahren soll.

Für den ersten (quadratischen) Teil gilt ja nun:

{(x - 1, y)}^{T} (\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 9 \end{matrix}) (x - 1, y) = 3 {(x - 1)}^{2} + 9 y^{2}

Nun fehlt noch die Betrachtung eines linearen Teils.

Ich weiß, dass dieser in der Matrixbeschreinung einer Quadrik gegeben ist duch

2 a^{T} x,

ich erkenne aber in diesem Fall nicht, wie ich dieses a finden soll.
Stimmt meine Annahme dass die Matrixbeschreibung der Form

Q = x^{T} A x + 2 a^{T} x + c

folgendermaßen für meine bestimmte Matrix aussieht:

T = {(x - 1, y)}^{T} H f (x - 1, y) - 1

d . h

. es gilt

a = 0

? Wenn ja wäre ja dann der lineare Teil nicht mehr zu beachten

Oder stehe ich grad total auf dem Schlach?

pwmeyer aktiv_icon

13:58 Uhr, 06.07.2015

Hallo,

für den quadratischen Teil gilt:

\frac{1}{2} \cdot (x - 1, y) \cdot (\begin{matrix} 6 & - 3 \\ - 3 & 6 \end{matrix}) (\begin{matrix} x - 1 \\ y \end{matrix}) = \frac{1}{4} (x - 1, y) \cdot (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 9 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x - 1 \\ y \end{matrix})

(Hoffentlich habe ich mich nicht verschrieben) Iweiß nicht, ob Ihr damit jetzt noch etwas machen sollt:

Gruß pwm

AlexBee aktiv_icon

14:15 Uhr, 06.07.2015

Naja,

Was wir machen sollen/müssen ist ja im Endeffekt eine Hauptachsentransformation der Quadrik

T = 3 {(x - 1)}^{2} + 3 y^{2} - 3 (x - 1) y - 1

Diese Quadrik erhalt ich aus dem Taylorpolynom 2. Stufe der Funktion

f

.
Da die beiden ersten Ableitungen der Funktion an dem Punkt

(1,0)

Null sind, bleibt für das Polynom nur noch:

T = f (1,0) + {(x - 1, y)}^{T} H f (1,0) (x - 1, y)

Dabei ist

H f

die Hessematrix an dieser Stelle.

Da

f (1,0) = - 1

ist, ist dies ja sozusagen meine Konstante

c

in der Matrixdarstellung der Quadrik. Kann ich, Da ich keinen linearteil habe für die eukl. Normalform der Quadrik sagen:

T´=-1+(x´,y)^T D(x´,y)

Wobei

D

die diagonalisierte Hessematrix ist und x´=

(x - 1)

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