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Schnitt Parabel - Koordinatenachsen

Schüler Gymnasium, 9. Klassenstufe

Wie bestimmt man die Schnittpunkte einer Parabel mit den Koordinatenachsen?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung
Schnittpunkte bestimmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
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n = 2

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Schnittpunkt mit der y-Achse

Um den Schnittpunkt einer Parabel mit der y-Achse zu bestimmen, setzt man

x = 0

in die Funktionsgleichung ein (alle Punkte die auf der y-Achse liegen haben die Form

S (0 | y))

. Der dadurch berechnete y-Wert ist die y-Koordinate des Schnittpunktes.

1) Beispiel

Gegeben ist die Parabel

y = x^{2} + 1

x = 0

einsetzen

\Rightarrow y = 0^{2} + 1 = 1

Die Parabel

y = x^{2}

schneidet die y-Achse in

y = 1

.

Der Schnittpunkt hat die Koordinaten:

S (0 | 1)

2) Beispiel

Gegeben ist die Parabel

y = {(x - 2)}^{2}

x = 0

einsetzen

\Rightarrow y = {(0 - 2)}^{2} = 4

Die Parabel

y = {(x - 2)}^{2}

schneidet die y-Achse in

y = 4

.

Der Schnittpunkt hat die Koordinaten:

S (0 | 4)

3) Beispiel

Gegeben ist die Parabel

y = 2 x^{2} + 10 x - 12

x = 0

einsetzen

\Rightarrow y = 2 \cdot 0^{2} + 10 \cdot 0 - 12 = - 12

Die Parabel

y = 2 x^{2} + 10 x - 12

schneidet die y-Achse in

y = - 12

.

Der Schnittpunkt hat die Koordinaten:

S (0 | - 12)

Schnittpunkte mit der x-Achse

Um die Schnittpunkte einer Parabel mit der x-Achse zu bestimmen, setzt man die Funktionsgleichung gleich Null

(y = 0),

denn alle Punkte die auf der x-Achse liegen haben die Form

N (x | 0)

.

Dann löst man die quadratische Gleichung nach

x

auf und erhält somit die passenden Stellen auf der x-Achse, an denen der y-Wert gleich Null ist.

1) Beispiel

Gegeben ist die Parabel

y = x^{2} - 4

y = 0

setzen

\Rightarrow x^{2} - 4 = 0

Gleichung nach

x

auflösen:

x^{2} - 4 = 0 | + 4

\Rightarrow x^{2} = 4 |

radizieren

\Rightarrow x_{1,2} = \pm 2

Die Parabel

y = x^{2} - 4

schneidet die x-Achse in

x_{1} = - 2

und

x_{2} = 2

.

Die Schnittpunkte haben die Koordinaten:

N_{1} (- 2 | 0)

und

N_{2} (2 | 0)

2) Beispiel

Gegeben ist die Parabel

y = {(x - 2)}^{2}

y = 0

setzen

\Rightarrow {(x - 2)}^{2} = 0

Man erkennt leicht, dass hier

x = 2

ist.

Die Parabel

y = {(x - 2)}^{2}

schneidet die x-Achse in

x = 2

.

Der Schnittpunkt hat die Koordinaten:

N (2 | 0)

Insbesondere ist der Schnittpunkt auch der Scheitelpunkt dieser Parabel

3) Beispiel

Gegeben ist die Parabel

y = x^{2} - 4 x + 3

y = 0

setzen

\Rightarrow x^{2} - 4 x + 3 = 0

Gleichung nach

x

auflösen mit der pq-Formel:

x_{1,2} = - (- \frac{4}{2}) \pm \sqrt{{(- \frac{4}{2})}^{2} - 3}

x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{1}

x_{1,2} = 2 \pm 1

Die Parabel

y = x^{2} - 4 x + 3

schneidet die x-Achse in

x_{1} = 1

und

x_{2} = 3

.

Die Schnittpunkte haben die Koordinaten:

N_{1} (1 | 0)

und

N_{2} (3 | 0)

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