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Schnittgerade zweier Ebenen

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Vektorräume

Tags: Vektorraum

rasputin87 aktiv_icon

17:53 Uhr, 18.03.2013

Hallo,
ich habe zwei Ebenen gegeben, und suche nach der Schnittgerade/-Winkel.

E : \vec{n} (\vec{r} - \vec{r 0}) = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x - 2 \\ y - 5 \\ z - 6 \end{matrix})

und

E : \vec{n} (\vec{r} - \vec{r 0}) = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x - 1 \\ y - 5 \\ z - 1 \end{matrix})

Mir ist jetzt nicht ganz klar wie ich am besten vorgehe.
Umwandeln in Parameterform?
Ich würde sagen ich muss irgendwann etwas gleichsetzen!

maxsymca

18:03 Uhr, 18.03.2013

Hallo,

Du hast 2 Gleichungen und 3 Unbekannte (Koordinaten) - eine davon gibt den Laufparameter der Geraden - auswählen, sagen wir

z = λ,

und GLS lösen, jetzt hast Du 3 Gleichungen und 3 Unbekannte...

rasputin87 aktiv_icon

18:05 Uhr, 18.03.2013

Enstehen die Gleichungen aus

\vec{n}

maxsymca

18:11 Uhr, 18.03.2013

Hm,
was soll mir das sagen? - Du rechnest das Skalarprodukt aus...
Für

1 . : 3 \cdot x + y + 2 \cdot z = 23

rasputin87 aktiv_icon

18:13 Uhr, 18.03.2013

Ich versteh nicht ganz wie ich die Gleichungen aufstelle...

maxsymca

18:14 Uhr, 18.03.2013

Weist Du, wie Du ein Skalarprodukt ausrechnest?
Dann tu das...

rasputin87 aktiv_icon

18:19 Uhr, 18.03.2013

Ja.

\vec{n} \cdot

Richungsvektor

= 23

für Ebene

1, = 5

für Ebene 2

Dann erstelle die Gleichungen:

3 x + 1 y + 2 z = 23

(EBENE

1)

2 x + 3 z = 5

(EBENE

2)

maxsymca

18:22 Uhr, 18.03.2013

und

\vec{n}

[\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] =

siehe Post

18 : 11

Uhr

rasputin87 aktiv_icon

18:28 Uhr, 18.03.2013

3 x + 1 y + 2 z = 23

(EBENE

1)

2 x + 3 z = 5

(EBENE

2)

Dann stelle ich um.

z = t

x = \frac{5 - 3 t}{2}

So richtig?

maxsymca

18:41 Uhr, 18.03.2013

So weit OK
und jetzt das was Du nun hast in EBENE 1 eingesetzt:

rasputin87 aktiv_icon

18:46 Uhr, 18.03.2013

Keine Ahnung was du meinst.

maxsymca

18:49 Uhr, 18.03.2013

Du hast

x =

z =

ausgerechnet. Jetzt musst Du noch

y

bestimmen - dazu musst Du Deine Ergebnisse in EBENE 1 einsetzen...

rasputin87 aktiv_icon

19:05 Uhr, 18.03.2013

3 (\frac{5 - 3 t}{2}) + y + 2 t = 23

7,5 - 4,5 + y + 2 t = 23

- 2,5 t + 7,5 = 23 - y

- 2,5 t - 15,5 = - y

2,5 t + 15,5 = y

maxsymca

19:19 Uhr, 18.03.2013

Ok.
habe fertig...
Geradengleichung zusammensetzen

[\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] =

rasputin87 aktiv_icon

19:28 Uhr, 18.03.2013

G : x = (\begin{matrix} 2,5 \\ 15,5 \\ 0 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} - \frac{3}{2} \\ 2,5 \\ 1 \end{matrix})

Das ist aber falsch...

es soll rauskommen:

G : x = (\begin{matrix} 0 \\ \frac{59}{3} \\ \frac{5}{3} \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 3 \\ - 5 \\ - 2 \end{matrix})

Ma-Ma aktiv_icon

19:37 Uhr, 18.03.2013

In wievielen Foren rechnest Du noch gleichzeitig dieselbe Aufgabe ?

Siehe auch hier:
http//www.matheboard.de/thread.php?threadid=517419

rasputin87 aktiv_icon

19:37 Uhr, 18.03.2013

Ich finde allerdings den Fehler nicht...

maxsymca

19:38 Uhr, 18.03.2013

Nein,
das ist nicht falsch - es gibt unedlich viele Geradengleichungen...

t = \frac{5}{3}

ergibt den Ortsvektor Deiner Lösungsgeraden und die Richtungsgeraden sind bis auf den Faktor

- 2

identisch...

Beide Gleichungen beschreiben die gleiche Gerade....

rasputin87 aktiv_icon

19:53 Uhr, 18.03.2013

Alles Klar! Vielen Dank!

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