Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Seiten oder Winkel im allg. Dreieck mit Kosinussatz

Seiten oder Winkel im allg. Dreieck mit Kosinussatz

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Wie ermittelt man Seiten oder Winkel eines Dreiecks mit dem Kosinussatz?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Additionstheoreme

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Winkelsumme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Im Folgenden werden die Seiten eines Dreiecks mit

a, b

und

c

bezeichnet, sowie die entsprechenden Maßen

α, β

und

γ

der gegenüber liegenden Winkel.

Gegeben: zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel
Gesucht sind die restlichen Seiten und Winkel des Dreiecks.

Mit dem Kosinussazt kann man die dritte Seite des Dreiecks ermitteln.
Für die anderen Winkel des Dreiecks ist der Sinussatz notwendig.

Beispiel

Gegeben:

a = 5

b = 4

cm,

γ = 60^{\circ}

Kosinussatz anwenden:

\Rightarrow c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos γ = 25 + 16 - 40 \cdot cos (60) = 21

\Rightarrow c = \sqrt{21} \approx 4,58

cm

Für den Winkel

α

und

β

wendet man den Sinussatz an:

\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ}

Gegeben: alle Seiten eines Dreiecks
Gesucht: alle Winkel

Durch eine Umstellung der Formel für den Kosinussatz kann man jeden Winkel in einem Dreieck berechen.

Beispiel

Gegeben:

a = 5

cm,

b = 3

c = 6

cm

Formel für Kosinussatz umstellen:

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos α

\Rightarrow cos α = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 \cdot b \cdot c}

Werte einsetzen:

\Rightarrow cos α = \frac{9 + 36 - 25}{36} = 0,555

\Rightarrow α = {cos}^{- 1} (0,555) =

56,25°

Da man jetzt 2 Seiten und einen Winkel kennt, kann man

z . B

β

mit dem Sinussatz ermitteln:

\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β}

\Rightarrow sin β = \frac{b}{a} \cdot sin α = \frac{3}{5} \cdot 0,83 = 0,498

\Rightarrow β = {sin}^{- 1} (0,498) =

29,87°

Der Winkel

γ

lässt sich jetzt leicht ausrechnen:

α + β + γ =

180°

\Rightarrow γ =

180°

- (α + β) =

180° - (56,25°

+

29,87°) = 93,88°

537742

537728

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?