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Seitenhalbierende, Mittelsenkrechte, Höhengerade,...
Schüler Fachschulen, 11. Klassenstufe
Tags: Übriges
 
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Hey... Also ich komme überhaupt nicht mit meinen Hausaufgaben klar x(. Ich hoffe mir kann hier jemand ein bisschen helfen =). Die Aufgabe: A (-2|-1) B (6|-3) C (-2|5) sind Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmt für dieses Dreieck die Gleichungen a) der Seitenhalbierenden b) der Mittelsenkrechten c) der Höhengeraden d) zeige, das sich die drei Geraden jeweils in einem gemeinsamen Punkt schneiden e) berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Dreiecks. Oh man ich hab echt keinen Plan wie ich da überhaupt anfangen soll... Also ich hab bis jetzt nur die Koordinaten der Mittelpunkte der Seiten ausgerechnet, aber ich weiß noch nicht mal, ob mir das überhaupt was hilft ?( |
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Hallo, zunächst ein paar grundsätzliche Betrachtungen: Wenn ich den Anstieg einer Geraden, die durch zwei Punkte gegeben ist berechnen will, dann sortiere ich zunächst die beiden Punkte nach ihren x-Werten. Den Punkt mit dem kleineren x-Wert nenne ich linken Punkt mit den Koordinaten (x_l|y_l) und den mit dem größeren x-Wert nenne ich rechten Punkt mit den Koordinaten (x_r|y_r). Der Anstieg der Geraden berechnet sich dann als Quotient: (y_r - y_l)/(x_r - x_l) a) zunächst bestimmen wir mal die Mittelpunkte der Seiten: M_c = Mittelpunkt der Seite c zwischen A und B = 1/2*((-2|-1) + (6|-3)) = 1/2*(4|-4) = (2|-2) M_b = Mittelpunkt der Seite b zwischen A und C = 1/2*((-2|-1) + (-2|5)) = 1/2*(-4|4) = (-2|2) M_a = Mittelpunkt der Seite a zwischen B und C = 1/2*((6|-3) + (-2|5)) = 1/2*(4|2) = (2|1) Die Mittelsenkrechten liegen auf den Geraden durch C und M_c, B und M_b bzw. A und M_a: y_cmc = Gleichung der Gerade durch C und M_c = ((-2) - 5)/(2 - (-2))*x + n_cmc = -7/4*x + n_cmc C einsetzen: 5 = -7/4*(-2) + n_cmc = 7/2 + n_cmc --> n_cmc = 5 - 7/2 = 3/2 y_cmc = -7/4*x + 3/2 y_bmb = Gleichung der Gerade durch B und M_b = ((-3) - 2)/(6 - (-2))*x + n_bmb = -5/8*x + n_bmb B einsetzen: -3 = -5/8*6 + n_bmb = -15/4 + n_bmb --> n_bmb = -3 + 15/4 = -12/4 + 15/4 = 3/4 y_bmb = -5/8*x + 3/4 y_ama = Gleichung der Gerade durch A und M_a = (1 - (-1))/(2 - (-2))*x + n_ama = 2/4*x + n_ama = 1/2*x + n_ama A einsetzen: -1 = 1/2*(-2) + n_ama = -1 + n_ama --> n_ama = -1 + 1 = 0 y_ama = 1/2*x b) Die Mittelsenkrechten stehen im rechten Winkel auf den Seiten. Der Anstieg dieser Geraden steht in direkter Beziehung zu dem Anstieg der Seite. Ist der Anstieg einer Seite m, dann ist der Anstieg der Mittelsenkrechten -1/m. m_c = Anstieg der Seite c durch A und B = ((-3) - (-1))/(6 - (-2)) = -2/8 = -1/4 --> -1/m_c = -1/(-1/4)) = -(-4) = 4 y_mmc = Mittelsenkrechte durch M_c = 4*x + n_mmc M_c einsetzen: -2 = 4*2 + n_mmc = 8 + n_mmc --> n_mmc = -2 - 8 = -10 y_mmc = 4*x - 10 m_b = Anstieg der Seite b durch A und C : Diese Dreiecksseite verläuft senkrecht, die Mittelsenkrechte also waagerecht, d.h. der Anstieg der Mittelsenkrechten ist 0. y_mmb = Mittelsenkrechte durch M_b = 0*x + n_mmb M_b einsetzen: 2 = 0*0 + n_mmb = n_mmb --> n_mmb = 2 y_mmb = 2 m_a = Anstieg der Seite a durch B und C = ((-3) - 5)/(6 - (-2)) = -8/8 = -1 --> -1/m_a = -1/(-1) = 1 y_mma = Mittelsenkrechte durch M_a = 1*x + n_mma M_a einsetzen: 1 = 1*2 + n_mma = 2 + n_mma --> n_mma = 1 - 2 = -1 y_mma = x - 1 c) Die Höhengeraden bilden ja den Lotpunkt eines Punktes auf die gegenüberliegende Seite. Diese Höhengeraden haben somit den selben Anstieg wie die Mittelsenkrechten. Man kann also die Geradengleichungen aus b) hernehmen und muß nur durch Einsetzen neuen Werte für das Absolutglied eine Parallelverschiebung der Geraden durchführen. y_hc = Höhengerade von C auf Seite c durch A und B = 4*x + n_hc C einsetzen: 5 = 4*(-2) + n_hc = -8 + n_hc --> n_hc = 5 + 8 = 13 y_hc = 4*x + 13 y_hb = Höhengerade von B auf Seite b durch A und C = 0*x + n_hb B einsetzen: -3 = 0*6 + n_hb = 0 + n_hb --> n_hb = -3 y_hb = -3 y_ha = Höhengerade von A auf Seite a durch B und C = 1*x + n_ha A einsetzen: -1 = 1*(-2) + n_ha = -2 + n_ha --> n_ha = -1 + 2 = 1 y_ha = x + 1 d) da) Schnittpunkt der Seitenhalbierenden: Man muß mit 2 Geraden den Schnittpunkt ermitteln und zeigen, daß der so ermittelte Schnittpunkt ebenfalls auf der dritten Geraden liegt. Ich nehme (in der Hoffnung, daß die Rechnung dort besonders einfach ist): y_cmc = y_ama -7/4*x + 3/2 = 1/2*x | +7/4*x 3/2 = 1/2*x + 7/4*x = 9/4*x | *4/9 12/18 = x x = 2/3 An der Stelle x=2/3 gilt: y_cmc: -7/4*2/3 + 3/2 = -7/6 + 9/6 = 2/6 = 1/3 = 1/2*2/3 : y_ama y_bmb: -5/8*2/3 + 3/4 = -10/24 + 18/24 = 8/24 = 1/3 Gemeinsamer Schnittpunkt: (2/3|1/3) db) Schnittpunkt der Mittelsenkrechten: Man muß mit 2 Geraden den Schnittpunkt ermitteln und zeigen, daß der so ermittelte Schnittpunkt ebenfalls auf der dritten Geraden liegt. Ich nehme (in der Hoffnung, daß die Rechnung dort besonders einfach ist): y_mmb = y_mma 2 = x - 1 | + 1 x = 3 An der Stelle x=3 gilt: y_mmb: 2 = 3 - 1 : y_mma y_mmc: 4*3 - 10 = 12 - 10 = 2 Gemeinsamer Schnittpunkt: (3|2) dc) Schnittpunkt der Höhengeraden: Man muß mit 2 Geraden den Schnittpunkt ermitteln und zeigen, daß der so ermittelte Schnittpunkt ebenfalls auf der dritten Geraden liegt. Ich nehme (in der Hoffnung, daß die Rechnung dort besonders einfach ist): y_hb = y_ha -3 = x + 1 | - 1 x = -4 An der Stelle x=-4 gilt: y_hb: -3 = -4 +1 : y_ha y_hc: 4*(-4) + 13 = -16 + 13 = -3 Gemeinsamer Schnittpunkt: (-4|-3) e) Umfang: Die Länge der Seiten beträgt: c = |AB| = sqrt(((-2) - 6)^2 + ((-1) - (-3))^2) = sqrt((-8)^2 + 2^2) c = sqrt(64 + 4) = sqrt(68) = 8,2462112512353210996428197119482 b = |AC| = sqrt(((-2) - (-2))^2 + ((-1) - 5)^2) = sqrt(0^2 + (-6)^2) b = sqrt(0 + 36) = sqrt(36) = 6 a = |BC| = sqrt((6 - (-2))^2 + ((-3) - 5)^2) = sqrt(8^2 + (-8)^2) a = sqrt(64 + 64) = sqrt(128) = 8*sqrt(2) = 11,313708498984760390413509793678 u = a + b + c u = 11,313708498984760390413509793678 + 6 + 8,2462112512353210996428197119482 u = 25,559919750220081490056329505618 A = 1/2*g*h g: Länge einer Grundseite h: die dazugehörige Höhe Um nicht zu "krumm" rechnen zu müssen, könnte sich die Seite b als Grundseite anbieten, die dazugehörige Höhe h_hb wäre noch zu ermitteln. Geradengleichung für die Seite b durch A und C Den Anstieg haben wir bereits berechnet unter b). Hier ist dieser Anstieg quasi unendlich groß. Eine Geradengleichung kann man deshalb hier nur in der Form x=-2 angeben. Das ist keine Funktion, aber eine gültige Geradengleichung im zweidimensionalen Raum. Schnittpunkt von y_hb mit x=-2 (wegen der speziellen Form der Geradengleichungen für die Seite b und y_hb durch einfaches Einsetzen) y_hb = -3 ; x = -2 Schnittpunkt H_b : (-2|-3) h_hb = |H_bB| = sqrt(((-2) - 6)^2 + ((-3) - (-3))^2) = sqrt((-8)^2 + 0^2) h_hb = sqrt(64 + 0) = sqrt(64) = 8 A = 1/2*b*h_hb = 1/2*6*8 = 24 PS: Eigentlich eine leichte Aufgabe, aber eine echte Fleißarbeit mit viel Fehlerpotential. |
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| Ui danke, danke, danke =) |
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Hallo, bin noch mal über alles drüber und hab' einen kleinen Fehler gefunden, der allerdings keine Auswirkungen hat. Wenn man das Ganze aber nur abschreibt ohne selbst nachzurechnen bzw. zu verstehen (oder wenigstens zu versuchen), dann fällt es einem vielleicht nicht auf. Unter b) gibt es bei der Berechnung von y_mmb die Zeile: M_b einsetzen: 2 = 0*0 + n_mmb = n_mmb das ist nicht korrekt, richtig muß es heißen: M_b einsetzen: 2 = 0*(-2) + n_mmb = n_mmb Sorry, aber am Rest ändert das ja nichts. |
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