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Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Beweis, signum

8mileproof aktiv_icon

15:30 Uhr, 23.01.2012

ich habe folgende aufgabe:

seien

n, m \in ℕ

und sei

π \in S_{n}

. Bezeichne pi´ in

S_{m}

die Permutation

π

aufgefasst als element von

S_{m}

(also

π

´(i)=i, für

i > n)

zeige oder widerlege die aussage:

sgn(

π

)=sgn(

π

´)

kann mir da jmd. vtl. einen tipp geben wie ich das zeigen kann? mir fallen nämlich keine ansätze ein...

also die definition des signums einer permutation der menge

{

ist durch folgende abbildung gegeben}

sgn:

S_{n} \to {- 1,1}

σ \mapsto \prod_{1 \leq i < j \leq n} \frac{σ (i) - σ (j)}{i - j}

so ich weiß, dass

S_{n}

die menge aller permutationen einer n-elementigen menge beschreibt

σ (i)

bezeichnet das element, auf das das i-te element abgebildet wird.

aber hilft mir das um die aussage zu zeigen? ne, oder??

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

hagman aktiv_icon

14:22 Uhr, 24.01.2012

Es genügt den Fall

m = n + 1

zu betrachten, der Rest folgt per Induktion und sorgt bei allgemeiner Behandlung möglicherweise zum Verlust der Übersicht.

Es ist

s g n (π')

= \prod_{1 \leq i < j \leq m} \frac{σ' (i) - σ' (j)}{i - j}

= \prod_{1 \leq i < j < m} \frac{σ' (i) - σ' (j)}{i - j} \cdot \prod_{1 \leq i < m, j = m} \frac{σ' (i) - σ' (j)}{i - j}

= \prod_{1 \leq i < j \leq n} \frac{σ' (i) - σ' (j)}{i - j} \cdot \prod_{1 \leq i < m} \frac{σ' (i) - σ' (m)}{i - m}

= \prod_{1 \leq i < j \leq n} \frac{σ (i) - σ (j)}{i - j} \cdot \prod_{1 \leq i < m} \frac{σ (i) - m}{i - m}

= s g n (π)

Der letzte Schritt gilt, weil stets

\frac{σ (i) - m}{i - m} > 0

gilt (und

s g n \in {- 1, + 1}

schon bekannt)

8mileproof aktiv_icon

16:19 Uhr, 25.01.2012

das sieht echt schön aus, hagman. versuchst wie immer mir zu helfen. allerdings kann ich das ganze nicht nachvollziehen. hab echt probleme das zu verstehen. könntest du nicht ein paar worte dazu sagen?

in unserem skript steht zum beispiel der beweis sign (

π \circ σ) =

sign(

π) \cdot

sign(

σ)

oder so ähnlichem...und da tauchen auch solche

\prod

-zeichen auf und schon da hatte ich das nicht ganz verstanden. also mein großes problem ist zum

u . a . :

mal ändert sich der laufindex zu

m,

mal bleibt der gleich? warum?

hagman aktiv_icon

22:40 Uhr, 25.01.2012

Zuerst geht das Produkt - per Definition - über alle Paare

(i, j),

bei denen

1 \leq i < j \leq m

ist
Das kann man aufteilen in das Produkt derjenigen Paare, bei denen

j \neq m

ist, einerseits und das derjenigen, bei denen

j = m

ist, andererseits.
Beim ersten Produkt betrachtet man also nur die Paare

(i, j),

bei denen

1 \leq i < j < m

ist; das ist aber gleichbedeutend mit

1 \leq i < j \leq n,

denn es ist ja

m = n + 1

.
Zugleich kann man beim zweiten Produkt einfach

j

fest durch

m

ersetzen und betrachtet dann keine Paare mehr, sondern einfach Indizes

i

mit

1 \leq i < m

8mileproof aktiv_icon

09:33 Uhr, 26.01.2012

okay, das bringt auf jdn fall licht ins dunkeln. so ne tolle erklärung findet man glaub ich in keinem mathebuch. danke;-)

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