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Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Beweis, signum

 
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8mileproof

8mileproof aktiv_icon

15:30 Uhr, 23.01.2012

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ich habe folgende aufgabe:

seien n,m und sei πSn. Bezeichne pi´ in Sm die Permutation π aufgefasst als element von Sm (also π ´(i)=i, für i>n)

zeige oder widerlege die aussage:

sgn( π )=sgn( π ´)



kann mir da jmd. vtl. einen tipp geben wie ich das zeigen kann? mir fallen nämlich keine ansätze ein...



also die definition des signums einer permutation der menge {ist durch folgende abbildung gegeben}

sgn: Sn{-1,1}

σ1i<jnσ(i)-σ(j)i-j

so ich weiß, dass Sn die menge aller permutationen einer n-elementigen menge beschreibt

σ(i) bezeichnet das element, auf das das i-te element abgebildet wird.


aber hilft mir das um die aussage zu zeigen? ne, oder??


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Antwort
hagman

hagman aktiv_icon

14:22 Uhr, 24.01.2012

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Es genügt den Fall m=n+1 zu betrachten, der Rest folgt per Induktion und sorgt bei allgemeiner Behandlung möglicherweise zum Verlust der Übersicht.

Es ist
sgn(π')
=1i<jmσ'(i)-σ'(j)i-j
=1i<j<mσ'(i)-σ'(j)i-j1i<m,j=mσ'(i)-σ'(j)i-j
=1i<jnσ'(i)-σ'(j)i-j1i<mσ'(i)-σ'(m)i-m
=1i<jnσ(i)-σ(j)i-j1i<mσ(i)-mi-m
=sgn(π)
Der letzte Schritt gilt, weil stets σ(i)-mi-m>0 gilt (und sgn{-1,+1} schon bekannt)


8mileproof

8mileproof aktiv_icon

16:19 Uhr, 25.01.2012

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das sieht echt schön aus, hagman. versuchst wie immer mir zu helfen. allerdings kann ich das ganze nicht nachvollziehen. hab echt probleme das zu verstehen. könntest du nicht ein paar worte dazu sagen?


in unserem skript steht zum beispiel der beweis sign ( πσ)= sign( π) sign( σ) oder so ähnlichem...und da tauchen auch solche -zeichen auf und schon da hatte ich das nicht ganz verstanden. also mein großes problem ist zum u.a.: mal ändert sich der laufindex zu m, mal bleibt der gleich? warum?
Antwort
hagman

hagman aktiv_icon

22:40 Uhr, 25.01.2012

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Zuerst geht das Produkt - per Definition - über alle Paare (i,j), bei denen 1i<jm ist
Das kann man aufteilen in das Produkt derjenigen Paare, bei denen jm ist, einerseits und das derjenigen, bei denen j=m ist, andererseits.
Beim ersten Produkt betrachtet man also nur die Paare (i,j), bei denen 1i<j<m ist; das ist aber gleichbedeutend mit 1i<jn, denn es ist ja m=n+1.
Zugleich kann man beim zweiten Produkt einfach j fest durch m ersetzen und betrachtet dann keine Paare mehr, sondern einfach Indizes i mit 1i<m
8mileproof

8mileproof aktiv_icon

09:33 Uhr, 26.01.2012

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okay, das bringt auf jdn fall licht ins dunkeln. so ne tolle erklärung findet man glaub ich in keinem mathebuch. danke;-)
 
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