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Sind die Matrizen in Bild(F)

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Bild einer Matrix, Linear Abbildung

CHRIS962253 aktiv_icon

17:17 Uhr, 25.02.2017

F

ist eine lineare Abbildung mit

F : (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & b \\ b & 0 \end{matrix})

Welche der folgenden Matrizen ist ein Element von Bild

(F)

.

a

(\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 1 & 3 \end{matrix})

b

(\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 1 & 3 \end{matrix})

c

(\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & - 3 \end{matrix})

Wie geht ich das an?
MFG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

17:21 Uhr, 25.02.2017

Alle Matrizen im Bild haben offensichtlich zwei Nullen auf der Hauptdiagonale.
Also ist die Antwort: keine.
Ich bin nur nicht sicher, dass Du die Aufgabe richtig wiedergegeben hast.

CHRIS962253 aktiv_icon

17:23 Uhr, 25.02.2017

Ja, die Aufgabenstellung ist richtig.

Wenn ich das richtig verstehe ist auch

(\begin{matrix} 2 & 0 \\ 4 & 1 \end{matrix})

nicht im Bild(F) oder?

Und wie siehts dann mit der Basis aus, ist die dann einfach leer?

DrBoogie aktiv_icon

17:40 Uhr, 25.02.2017

"Wenn ich das richtig verstehe ist auch (2401) nicht im Bild(F) oder?"

Nein, denn die Hauptdiagonale hat keine Nullen daruf.

"Und wie siehts dann mit der Basis aus, ist die dann einfach leer?"

Eine leere Basis gibt's nur wenn der Raum selber aus einem einzigen Element

0

besteht.
Was hier definitiv nicht der Fall ist.
Hier kann man jede Matrix aus dem Bild als eine Basis nehmen, außer Nullmatrix.
Bild ist eindimensional.

UPDATE.
Und ich meine natürlich nicht die Hauptdiagonale, sondern die Nebendiagonale!

CHRIS962253 aktiv_icon

18:16 Uhr, 25.02.2017

Wie berechne ich am besten die Basis vom Kern?

ledum aktiv_icon

20:14 Uhr, 25.02.2017

Hallo,

,,

Offensichtlich werden alle Matrices mit

b = 0

auf die Nullmatrix abgebildet, damit ist dir hoffentlich eine Basis aus 3 Matrices für den Kern klar.
hast du die 3 Kandidaten für das Bild richtig zitiert?
schick lieber die Orginalaufgabe.
Gruß ledum

CHRIS962253 aktiv_icon

20:37 Uhr, 25.02.2017

Sei

F : M (2 x 2) \to M (2 x 2)

eine lineare Abbildung mit

F (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & b \\ b & 0 \end{matrix})

Man führe für die nachstehenden angegebenen Matrizen folgendes Programm durch:

(i)

Welche der folgenden Matrizen ist ein Element von Kern

(F)

(ii) Welche der folgenden Matrizen ist ein Element von Bild(F)
(iii) Man beschreibe Kern(F) und Bild(F) jeweils durch Angabe einer Basis

a) (\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 1 & 3 \end{matrix})

b) (\begin{matrix} 0 & 4 \\ 2 & 0 \end{matrix})

c) (\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & - 3 \end{matrix})

d) (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 4 & 1 \end{matrix})

(i) : c & d

sind Element von Kern(F) Was logisch ist, denn sie lösen

= (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})

Zu (ii) Keine der Matrizen. Siehe oben beschrieben
Zu (iii) Basis vom Bild:

(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

Basis vom Kern:

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

Habs von nem Freund, weiß aber nicht genau warum dies die Basen sind....

mihisu aktiv_icon

11:57 Uhr, 26.02.2017

F (\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 1 & 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{matrix}) \neq (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \Rightarrow (\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 1 & 3 \end{matrix}) \notin K e r n (F)

F (\begin{matrix} 0 & 4 \\ 2 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 4 \\ 4 & 0 \end{matrix}) \neq (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \Rightarrow (\begin{matrix} 0 & 4 \\ 2 & 0 \end{matrix}) \notin K e r n (F)

F (\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & - 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \Rightarrow (\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & - 3 \end{matrix}) \in K e r n (F)

F (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 4 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \Rightarrow (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 4 & 1 \end{matrix}) \in K e r n (F)

\\\\

Keine der angegebenen Matrizen liegen im Bild, da sie offensichlich nicht von der Form

(\begin{matrix} 0 & b \\ b & 0 \end{matrix})

mit geeignetem

b

sind.

\\\\\\\\
Nun zur eigentlichen Frage zu den Basen:

In

K e r n (F)

liegen alle Matrizen

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

mit

F (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}),

also mit

(\begin{matrix} 0 & b \\ b & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}),

also mit

b = 0

.

In

K e r n (F)

liegen also die Matrizen der Form

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) = (\begin{matrix} a & 0 \\ c & d \end{matrix}) = a \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) + c \cdot (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) + d \cdot (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

mit jeweils eindeutigen Koeffizienten

a, c, d

.

Daher ist offensichtlich

{(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})}

eine Basis von

K e r n (F)

.

In

B i l d (F)

liegen alle Matrizen der Form

F (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & b \\ b & 0 \end{matrix}) = b \cdot (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

mit jeweils eindeutigem Koeffizienten

b

.

Daher ist offensichtlich

{(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})}

eine Basis von

B i l d (F)

[

Es gibt ja die folgende Charakterisierung einer Basis

B

eines Vektorraums

V :

Jedes Element des Vektorraums

V

lässt sich als Linearkombination von Vektoren aus der Basis

B

darstellen und diese Darstellung ist eindeutig.

]

CHRIS962253 aktiv_icon

14:48 Uhr, 26.02.2017

AHHHH!!!
Jetzt passt alle zusammen! Herzlichen Dank!

CHRIS962253 aktiv_icon

14:49 Uhr, 26.02.2017

AHHHH!!!
Jetzt passt alle zusammen! Herzlichen Dank!

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