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Sinus, Cosinus Beweise

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Cosinus, Komplexe Zahlen, Sinus

Lasina9 aktiv_icon

21:54 Uhr, 07.12.2016

Guten Abend,
ich habe einpaar Fragen zu den folgenden Aufgaben:

x, y

element reelle Zahlen.

sin (x - y) = sin (x) cos (y) - sin (y) cos (x)

sin (x) \cdot sin (y) = \frac{1}{2} (cos (x - y) - cos (x + y))

sin (x) \cdot cos (y) = \frac{1}{2} (sin (x - y) + sin (x + y))

{cos}^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{1 + cos (x)}{2}

{sin}^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{1 - cos (x)}{2}

undzwar verstehe ich nicht, wie ich diese Sachen beweisen/zeigen soll.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ledum aktiv_icon

22:25 Uhr, 07.12.2016

Hallo
das kommt ganz darauf an welche Hilfsmittel du zur Verfügung hast:

a)

nur elementar geometrische mit

sin, cos

am Einheitskreis

b)

komplexe Zahlen mit

sin (x) = \frac{e^{i \cdot x} - e^{- i \cdot x}}{2 \cdot i}

da du in der Uniforum schreibst wohl

b,

dann mach das einfach schrei die Behauptung in der form

b

hin und rechne einfach nach.
oder fang mit

e^{i \cdot (x - y)}

an und betrachte Real und Imaginärteil.
Gruß ledum

Lasina9 aktiv_icon

22:42 Uhr, 07.12.2016

Hi ,
Danke für die schnelle Antwort. Ich muss es schin Form

b

machen.

heißt es dann, dass

e^{i (x - y) =}

e^(ix)

\cdot

e^-iy und dann

cos (x + y) - i \cdot sin (x + y) = (cos x + i sin x) \cdot (cos x - i sin y)

ist?

ledum aktiv_icon

01:07 Uhr, 08.12.2016

Hallo
ja, nur hast du dich im 2 ten Term wohl vertippt und

cos

statt cosy geschrieben.
grüß ledum

Respon

09:03 Uhr, 08.12.2016

Diesbezüglich gibt es zahlreiche Herleitungen.

z . B

.
Zeige, dass gilt

: sin (x - y) = sin (x) \cdot cos (y) - cos (x) \cdot sin (y)

x, y \in ℝ

Du kennst sicher folgenden Zusammenhang:

e^{i \cdot α} = cos (α) + i \cdot sin (α)

\Rightarrow

e^{i \cdot (x + y)} = cos (x + y) + i \cdot sin (x + y)

Es gilt aber auch

e^{i \cdot (x + y)} = e^{i \cdot x} \cdot e^{i \cdot y} = (cos (x) + i \cdot sin (x)) \cdot (cos (y) + i \cdot sin (y)) =

= (cos (x) \cdot cos (y) - sin (x) \cdot sin (y)) + i \cdot (sin (x) \cdot cos (y) + cos (x) \cdot sin (y))

Vergleicht man nun Real- und Imaginärteil dieser beiden Darstellungen, so gilt:

cos (x + y) = cos (x) \cdot cos (y) - sin (x) \cdot sin (y)

sin (x + y) = sin (x) \cdot cos (y) + cos (x) \cdot sin (y)

Ersetzt man

y

durch

- y,

so gilt

: cos (- y) = cos (y)

und

sin (- y) = - sin (y)

\Rightarrow

sin (x - y) = sin (x) \cdot cos (y) - cos (x) \cdot sin (y)

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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