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Skalare m, n, der Zerlegung c

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Skalarmultiplikation, Vektorraum, Zerlegung

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Jinnarin

Jinnarin aktiv_icon

10:34 Uhr, 03.10.2011

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Aufgabe: Die drei Vektoren

a, b,

und

c

liegen in einer Ebene. Berechnen Sie die Skalare

m, n

der Zerlegung c=ma+nb.
Unser Ansatz: Die Vektorgleichung durch Skalarmultiplikation mit a respektive

b

in zwei skalare Gleichungen umwandeln. Nur wissen wir nicht, wie genau das funktioniert.
Könnte uns jemand helfen? Dankeschön!

Unser Versuch:

c \cdot a =

m*länge

a^{2} + n \cdot a \cdot b

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

weisbrot

weisbrot aktiv_icon

10:42 Uhr, 03.10.2011

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hallo.
also du hast

a, b, c

gegeben. mit

c =

ma

+

nb solltest du dann ein gleichungssystem mit mindestens 2 gleichungen und den unbekannten

m

und

n

bekommen. daraus bestimmst du einfach

m

und

n

. eigentlich keine schwierigkeit, oder verstehe ich etwas falsch?
lg

Antwort

prodomo

prodomo aktiv_icon

10:59 Uhr, 03.10.2011

Antworten

Verstehe ich richtig, dass eine allgemeine Lösung für die Koeffizienten der Linearkombination gesucht ist ?

D . h ., m

und

n

müssen aus den Beträgen/Skalarprodukten der Vektoren gebildet werden ?

Antwort

Gerd30.1

Gerd30.1 aktiv_icon

13:41 Uhr, 03.10.2011

Antworten

\vec{c} = n \cdot \vec{a} + m \cdot \vec{b} \Rightarrow

1.

\vec{c} \cdot \vec{a} = n \cdot {\vec{a}}^{2} + m \cdot \vec{b} \cdot \vec{a} \Rightarrow m = \frac{\vec{c} \cdot \vec{a} - n \cdot {\vec{a}}^{2}}{\vec{b} \cdot \vec{a}}

2.

\vec{c} \cdot \vec{b} = n \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} + m \cdot {\vec{b}}^{2} \Rightarrow m = \frac{\vec{c} \cdot \vec{b} - n \cdot \vec{a} \cdot \vec{b}}{{\vec{b}}^{2}} \Rightarrow

\frac{\vec{c} \cdot \vec{a} - n \cdot {\vec{a}}^{2}}{\vec{b} \cdot \vec{a}} = \frac{\vec{c} \cdot \vec{b} - n \cdot \vec{a} \cdot \vec{b}}{{\vec{b}}^{2}} \Leftrightarrow

(\vec{c} \cdot \vec{a} - n \cdot {\vec{a}}^{2}) \cdot {\vec{b}}^{2} = (\vec{c} \cdot \vec{b} - n \cdot \vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} \Leftrightarrow

\vec{c} \cdot \vec{a} \cdot {\vec{b}}^{2} - n \cdot {\vec{a}}^{2} \cdot {\vec{b}}^{2} = \vec{c} \cdot \vec{b} \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} - n \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} \Leftrightarrow

n \cdot ({(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2} - {\vec{a}}^{2} \cdot {\vec{b}}^{2}) = (\vec{c} \cdot \vec{b}) \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) - (\vec{c} \cdot \vec{a}) \cdot {\vec{b}}^{2} \Rightarrow

n = \frac{(\vec{c} \cdot \vec{a}) \cdot {\vec{b}}^{2} - (\vec{c} \cdot \vec{b}) \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b})}{{(\vec{a} \cdot \vec{b})}^{2} - {\vec{a}}^{2} \cdot {\vec{b}}^{2}}

Jinnarin

Jinnarin aktiv_icon

17:20 Uhr, 03.10.2011

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Dankeschön, diese Rechnung kann ich rechnerisch nachvollziehen. Ich verstehe nur nicht, weshalb man die Gleichung einmal mit Vektor

b

multiplizieren kann und einmal mit Vektor

a,

und weshalb das dann dasselbe sein soll? (Also weshalb man sie gleichsetzen darf).
Danke für eure Mühe.

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