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Stammfunktion von f(x)=x*e^(1-x)

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: e-Funktion, Partielle Integration, Stammfunktion

Zitronenfalter aktiv_icon

19:58 Uhr, 16.02.2009

Wie lautet die Stammfunktion von f(x)=x*e^(1-x)?

Ich habe versucht, die Stammfunktion dieser Funktion mit der partiellen Integration zu ermitteln, aber irgendwie komme ich auf kein logisches Ergebnis.

Was ich bisher gerechnet habe:

Integral von f'(x)dx= Integral [u(x)*v(x)]'dx=u*v=Integral u'*vdx + Integral u*v'dx

= Integral u*v'dx=u*v-Integral u'vdx

Ist die Regel erst einmal richtig zur Berechnung der Stammfunktion von f(x)?

u=x ---> u'=1
v=e^(1-x) ---> v'=-1*e^(1-x)

Nach dem Einsetzen erhalte ich Folgendes:
x*e^(1-x)-Integral 1*(e^[1-x])

Ab jetzt weiß ich leider nicht weiter, da das, was integriert werden muss, doch eigentlich wieder f(x) ist und ich somit keinen Schritt weiter bin, oder doch?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Stammfunktion
e-Funktion
ln-Funktion

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deadmanwalking aktiv_icon

20:13 Uhr, 16.02.2009

um dem ganzen mal ein bisschen übersicht zu geben:

die formel hast du richtig gehabt:

\int u' v d x =

- \int

uv'dx

bei der schreibweise: du hast die funktionen, die du für

u

und

v

eingesetzt hast, beidesmal abgeleitet, anstatt eine abzuleiten und die andere zu integrieren (zufällig bleibt es sich bei diesem beispiel gleich, ist aber im allgemeinen nicht so)

dann hast du einfach ein paar kleinigkeiten falsch in die oben stehende formel eingesetzt:

\int x \cdot e^{1 - x} d x = - x \cdot e^{1 - x} + \int e^{1 - x} d x

das minus vor dem

\int

In der Formel wird zu plus, weil beim integrieren von

e^{1 - x}

ja ein minus nach vorne kommt, und minus und minus bekanntlich plus gibt.
des weiteren hast du ein minus bei (uv) vergessen.

das hinten stehende integral müsste jetzt lösbar sein, oder?

lg

Zitronenfalter aktiv_icon

20:27 Uhr, 16.02.2009

\$

Hmmm...also wenn ich die Formel

Integral uvdx= uv- Integral uv'dx verwende und für e=x, u'=1, v= e^(1-x) und v'=-e^(1-x) einsetze, komme ich auf:

Integral x*e^(1-x)=x*e^(1-x)- Integral x*(-1*e^[1-x])=x*e^(1-x)- Integral -x*e^(1-x)!

Welchen Teil genau muss ich denn ableiten und welchen integrieren?

\$

deadmanwalking aktiv_icon

10:14 Uhr, 17.02.2009

du musst bei folgendem aufpassen:

aus deiner angabe wählst du das

x

als

u

und das

e^{1 - x}

als

v

.

so kommst du nicht weiter. nochmals die formel:

\int u' \cdot v d x = u \cdot v - \int u \cdot v' d x

d . h .,

dass deine angabe in

u'

und in

v

aufgeteilt werden muss, nicht wie bei dir in

u

und

v

.
jetzt wählst du folgendermaßen:

u' = e^{1 - x}

v = x

jetzt hast du

u'

und

v

gewählt, laut formel musst du

u

und

v'

bilden.
also:

u = - e^{1 - x}

v' = 1

und jetzt einfach in die formel einsetzen:

\int x \cdot e^{1 - x} d x = - x \cdot e^{1 - x} - \int - e^{1 - x} d x = - x \cdot e^{1 - x} + \int e^{1 - x} d x

und das integral von

e^{1 - x},

was jetzt ja als einziges noch gesucht ist, hast du oben schon gebildet, denn aus

u'

hast du ja schon

u

gebildet.

also

= - x \cdot e^{1 - x} + (- e^{1 - x}) = - x \cdot e^{1 - x} - e^{1 - x} = - e^{1 - x} \cdot (x + 1) + c

grüße

munichbb

10:24 Uhr, 17.02.2009

Hi,

f (x) = x

exp(1-x);

\to

F (x) = (- x - 1)

exp(1-x);

Gruß
munichbb

deadmanwalking aktiv_icon

10:54 Uhr, 17.02.2009

@munichbb:

steht ja genauso schon da....

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