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Stetig, differenzierbar => lipschitz stetig

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

 
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Briggehossler

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20:44 Uhr, 18.01.2017

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Guten Abend,

könnte mir jemand bei der b) helfen? Ich komme leider nicht weiter..

Vielen Dank im Voraus! :-)

Screenshot_20170118-204136

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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DrBoogie

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20:45 Uhr, 18.01.2017

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b) ist nicht zu sehen, aber vermutlich heißt das Zauberwort "Mittelwertsatz"
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DrBoogie

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20:51 Uhr, 18.01.2017

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Ach so.

Na dann für α1 Lipschitz, sonst nicht.
Gleichmäßig stetig immer.
Alles leicht zu zeigen.
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DrBoogie

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20:53 Uhr, 18.01.2017

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Für gleichm. Stetigkeit beachte
de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Heine
Briggehossler

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21:52 Uhr, 18.01.2017

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Okay und wie fange ich am besten an das ganze zu zeigen?
Antwort
DrBoogie

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07:23 Uhr, 19.01.2017

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Das ist Dir überlassen.
Du kannst mit dem Beweis von Lipschitz-Stetigkeit für α1 anfangen.
Es läuft über xα-yαx-y.
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DrBoogie

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09:12 Uhr, 19.01.2017

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Allerdings ist es einfacher xα-yααx-y zu zeigen, mittels Mittelwertsatz. Das reicht auch.
Briggehossler

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13:46 Uhr, 19.01.2017

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Okay ich versuche es Mal:

Mittelwertsatz: f'(x)=f(a)-f(b)a-b

Lipschitz stetig: |f(a)-f(b)|≤L|a-b|

Dann habe ich den Mittelwertsatz umgeformt:

f'(x)(a-b)=|f(a)-f(b)|

|f'(x)||a-b|=|f(a)-f(b)|

Abschätzung des |f'(x)| Terms unabhängig von a und b

g'(x)=axa-1

g' ist auf ganz definiert und stetig

lim(x0)g'=0

die Funktion ist auf ganz beschränkt

Könnte man dies mit dem Satz von Maximum und Minimum Beweisen?
Antwort
DrBoogie

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15:06 Uhr, 19.01.2017

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"die Funktion ist auf ganz ℝ beschränkt"

Das folgt nicht, das stimmt auch nicht (für a>1).
Und überhaupt, warum betrachtest Du ganz ℝ ?
In b) geht es ums Intervall [0,1].

Briggehossler

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15:18 Uhr, 19.01.2017

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Achso ja stimmt ich war der Meinung von nach ..
Und was ist mit dem Anfang?

Den Satz aus Wikipedia haben wir nämlich nicht definiert..
Antwort
DrBoogie

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15:26 Uhr, 19.01.2017

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"Den Satz aus Wikipedia haben wir nämlich nicht definiert.."

Komisch, das ist doch der Basissatz für gleichmäßige Stetigkeit.
Dann muss halt zu Fuß bewiesen werden. Das ist dann ziemlich ätzend.
Briggehossler

Briggehossler aktiv_icon

16:06 Uhr, 19.01.2017

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Okay dann bevorzuge ich den anderen Weg mit dem Satz von Heine.. :-D)
und wie fange ich am besten an?
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DrBoogie

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16:24 Uhr, 19.01.2017

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"und wie fange ich am besten an?"

Wieder diese komische Frage.
Wie Du willst.
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