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Stochastik: Wo ist mein Denkfehler?

Schüler Abendgymnasium,

Tags: Stochastik

Frika aktiv_icon

21:03 Uhr, 02.09.2014

Liebes Forum,
Ich verzweifle hier an einer Matheaufgabe der Stochastik.

Aufgabe:

Eine Gruppe mit

10

Rauchern beschließt, eine Entwöhnungskur zu machen.
Es sind 2 starke Raucher und 8 nicht starke Raucher.
Die Erfolgsquote der starken Raucher liegt bei

60 %

.
Die Erfolgsquote der nicht starken Raucher liegt bei

70 %

.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens 9 Raucher die Entwöhnung schaffen?

Die offizielle Lösung ist

12 %

.
In der Lösung der Aufgabe wird so gerechnet:
Erst wird die durchschnittliche Wahrscheinlichkeit des Erfolgs von jedem der Raucher ausgerechnet. Die liegt bei

68 %

.
(Das ist auch das Zwischenergebnis in der offiziellen Lösung)
Dann wird aber gerechnet

P (X = 9) + P (X = 10)

Aber normalerweise müßte das doch auch mit Binominalverteilung gehen:

P (X \geq 9)

ist

1 - P (X \leq 8)

Ich bekomme damit raus:

78 %

.
Also genau

1 - 12 %

.
(Eins minus das Ergebnis in der Aufgabe.)

Wo ist denn hier mein Denkfehler?
Ich brüte schon sehr lang darüber.
Wäre schön wenn mir jemand helfen könnte.
Danke.
Gruß Frika

mathepit aktiv_icon

22:14 Uhr, 02.09.2014

Hallo Frika:

zunächst sollte man sich die Arbeit so einfach wie möglich machen: Ist von einem Prozentsatz die Rede, kommt fast immer die Binomialverteilung zur Anwendung (oder eine andere Verteilung, die mit Anteilen arbeitet, aber in der Schule nicht behandelt wird).

Wir haben also einen durchschnittlichen %-Satz von

68 %,

also

0,68

.

Wenn Du nun hingehst, und jede Wahrscheinlichkeit von 0 bis 8 einzeln ausrechnest - das bleibt natürlich Dir überlassen, ob Du das tust - musst Du die Summe davon von 1 abziehen.

Soweit richtig.

Also musst Du nur die Wahrscheinlichkeiten

P (X = 9)

und

P (X = 10)

addieren.

P (X = 9) = (\begin{matrix} 10 \\ 9 \end{matrix}) \cdot {0,68}^{9} \cdot {0,32}^{1} = 0,099 . .

P (X = 10) = (\begin{matrix} 10 \\ 10 \end{matrix}) \cdot {0,68}^{10} \cdot {0,32}^{0} = 0,0211 . .

.

Du erhältst so ca.

0,12 = 12 %

.

Also, nicht verzweifeln und sich das Leben so einfach wie möglich machen!

mathepit

Frika aktiv_icon

22:30 Uhr, 02.09.2014

Hallo Mathepit,

Danke für Deine Antwort.
Den von Dir angegebenen Lösungsweg verstehe ich, aber ich frage mich, warum ich nicht mit 1−P(X

\leq 8)

auch auf das richtige Ergebnis komme. Der Ansatz 1−P(X

\leq 8)

ist doch richtig. Ich habe ähnliche Aufgaben bisher immer so gerechnet. Warum geht das bei dieser Aufgabe nicht?

Grüße
Frika

mathepit aktiv_icon

23:03 Uhr, 02.09.2014

machen wir die Probe:

P (X = 0) = (\begin{matrix} 10 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {0,68}^{0} \cdot {0,32}^{10} = 0,0000112

P (X = 1) = (\begin{matrix} 10 \\ 1 \end{matrix}) \cdot {0,68}^{1} \cdot {0,32}^{9} = 0,0002392

P (X = 2) = (\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {0,68}^{2} \cdot {0,32}^{8} = 0,0022878

P (X = 3) = (\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {0,68}^{3} \cdot {0,32}^{7} = 0,0129645

P (X = 4) = (\begin{matrix} 10 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0,68}^{4} \cdot {0,32}^{6} = 0,0482119

P (X = 5) = (\begin{matrix} 10 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0,68}^{5} \cdot {0,32}^{5} = 0,1229405

P (X = 6) = (\begin{matrix} 10 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {0,68}^{6} \cdot {0,32}^{4} = 0,2177071

P (X = 7) = (\begin{matrix} 10 \\ 7 \end{matrix}) \cdot {0,68}^{7} \cdot {0,32}^{3} = 0,2643586

P (X = 8) = (\begin{matrix} 10 \\ 8 \end{matrix}) \cdot {0,68}^{8} \cdot {0,32}^{2} = 0,2106608

= 0,8793816 = 0,88

(so circa)

Puh, das war Schweißarbeit. Du wirst bei dem ganzen Zahlenwust vielleicht ne Addition vergessen einfach nur vertippt haben. Das kann vorkommen, auch meinem Prof. kam da manches "spanisch" vor.

Wichtig sind folgende Dinge:

1.
Binomialkoeffizienten berechnen

(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) -

die wiederholen sich!

2.

P (X > a) = 1 - P (X \leq a)

P (X \geq a) = 1 - P (X < a)

3.
Mit so wenig Aufwand wie möglich arbeiten. Gerade in der statistik hat man es oft mit Zahlenwüsten zu tun.

Immer mit "kühlem Kopf" vor Augen führen.

mathepit

Matlog aktiv_icon

23:03 Uhr, 02.09.2014

Mir ist nicht wirklich klar, wo das Problem liegt.
In der Diskrepanz zwischen

78 %

und

88 %,

oder war

78 %

ein Schreibfehler?

Natürlich kannst Du

1 - P (X \leq 8)

rechnen. Vielleicht hast Du Dich dabei ja verrechnet!?
Aber wie mathepit schon sagte, warum?
Der einzige Grund könnte in der Verwendung einer Tabelle liegen. Aber ist

p = 0,68

irgendwo tabelliert?

Nebenbei:
Mathematisch ist die Berechnung einer durchschnittlichen Trefferwahrscheinlichkeit durch nichts gerechtfertigt, auch wenn sogar die Buchlösung dies tut. Das ist allenfalls eine (sehr) gute Näherung!

Frika aktiv_icon

23:07 Uhr, 02.09.2014

In diesem Augenblick ist mir klar geworden, wo mein Denkfehler liegt.
Ich bin ein Hornochse.
Ich habe

1 - P (X \leq 8)

gerechnet, als stünde da =.
Ich habe also nicht aus der Tabelle abgelesen, sondern "zu Fuß" gerechnet.

Danke für eure Antworten.
Und @ Mathepit - Danke für die viele Schreibarbeit. ;-)

Gruß
Frika

mathepit aktiv_icon

23:15 Uhr, 02.09.2014

@ Matlog:

Du hast recht!

0,2 \cdot 0,6 + 0,8 \cdot 0,7

finde ich auch "interessant".

Aber die Statistik arbeitet ja viel mit Näherungswerten. Und wenn es so im Buch steht, jo mei...

mathepit

Matlog aktiv_icon

23:15 Uhr, 02.09.2014

Die exakte Berechnung sollte so laufen:

P (X = 10) = {0,6}^{2} \cdot {0,7}^{8}

P (X = 9) = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) \cdot 0,6 \cdot 0,4 \cdot {0,7}^{8} + (\begin{matrix} 8 \\ 1 \end{matrix}) \cdot {0,6}^{2} \cdot {0,7}^{7} \cdot 0,3

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, dann liegt der Unterschied zur Näherungsrechnung aber nur knapp über

0,1 %

mathepit aktiv_icon

23:18 Uhr, 02.09.2014

oder so...

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