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Studium 1. Semester Integrale bestimmen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: arcos, Integration, Partielle Integration, sin, Substitution

TrouT89 aktiv_icon

12:55 Uhr, 05.04.2009

Hallo,
unzwar brauche ich Hilfe. Ich habe im Sommersemester

2009

angefangen zu studieren. Beginne also im 2. Semester und hatte somit noch keine Integralrechnung. Könntet ihr mir weiterhelfen bei diesen Aufgaben? Wenn stichwortartige Erklärungen dabei wären wär das super :-). Jede gelöste Aufgabe ist Gold wert! Hinter den Aufgaben stehen schon Tipps.

0)

Integrale bestimmen

0.1) \int

x²cos(x)

d x

(part. Integration)

0.2) \int sin (ln (x)) d x

(Subst., part. Int. und ein kleiner Trick)

0.3) \int e^{sin (x)} sin (2 x) d x

(sin(2x)=2sin(x)

cos (x),

Subst., part. Int.)

0.4) \int \frac{1}{\sqrt{2 - 3 x^{2}}} d x (\frac{d}{d_{u}}

arcsin(u)=

\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}})

1)

Bogenlänge der folgenden Kurven ermitteln

1.1) f (x) = cosh (x), 0 \leq x \leq a, a > 0

1.2) g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 1, 0 \leq x \leq 2

Tipp für

1.2 :

Subst.

x = sinh (u)

. Tipp für beide Aufgaben: Es gilt

1 + {sinh}^{2} (u) = {cosh}^{2} (u)

. Wie sind

{cosh}^{2} (u)

und

cosh (2 u)

miteinander verbunden?

2)

Beweisen sie jeweils die folgenden Identitäten

2.1) \int_{0}^{1} e^{x} cos (e^{x}) d x = sin (e) - sin (1)

2.2) \int_{e}^{e^{2}} \frac{1}{x ln (x)} d x = ln (2)

2.3) \int_{0}^{3} \frac{\sqrt{3 + x}}{\sqrt{3 - x}} d x = \frac{3 π}{2} + 3

2.4) \int_{0}^{1} x

arcsin(x)

d x = \frac{π}{8}

Tipp zu

2.3)

Bringen sie den Integranden auf die Form 3/sqrt(9-x^2)+x/sqrt(9-x^2)und lösen sie die entstehenden Integrale direkt oder per Substitution.
Tipp zu

2.4)

Verwenden sie die Substitution

x = sin (u),

den Tipp von Aufgabe

0.3

und eine part. Integration.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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15:08 Uhr, 08.04.2009

Berechne Integrale mittels Stammfunktionen

F :

F´(x)=f(x):

\int_{a}^{b} f (x) = F (b) - F (a)

Differentiationsregeln liefern also Integrationsregeln: Produktregel beim Diff.-->part. Integration:

(u \cdot

v)´=u´

\cdot v + u \cdot

v´-->

\int (

u´

\cdot v) = u \cdot v - \int (u \cdot

v´)

\int (x^{2}

*cosx)dx=...

[

2x part. integr.

] . . = 2 \cdot x \cdot

cosx

+ (x^{2} - 2) \cdot sin (x)

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15:26 Uhr, 08.04.2009

Kettenregel ( Diff): (f(g(x))´= f´(g(x)*g´(x)

\int (1 \cdot sin (

lnx

)) d x =

...

[

part. Int.]=

x \cdot sin (ln x) - \int (x \cdot cos

(lnx))

\cdot \frac{1}{x} d x

= ...

[

part.Int.]

= x \cdot sin (ln x) - x \cdot cos (ln (x)) - \int (1 \cdot sin (

lnx

)) d x - \to

2 \cdot \int (1 \cdot sin (

lnx

)) d x = ...

- - \to

\int sin

lnx

d x = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (sin (ln (x)) - cos (ln (x))

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15:40 Uhr, 08.04.2009

Kettenregel des Diff---> Substituionsregel beim Int.
(F(g(x))´= F´(g(x))

\cdot

g´(x); F´=f

- - \to \int f (g (x)) \cdot

g´(x)dx

= (F (g (x))

\int e^{sin (x)} \cdot sin (2 x) d x = 2 \cdot \int e^{sin (x)} \cdot

sinx

\cdot

cosx

d x = .

[

part. Int]=

2 \cdot e^{sin (x)} \cdot

(sinx-1)

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15:57 Uhr, 08.04.2009

(arcsinx)´=

\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

(arcsin(a*x)´=

\frac{a}{\sqrt{1 - {(a \cdot x)}^{2}}}

[

Kettenregl; nachdiff.

] - - \to

\frac{1}{\sqrt{2 - 3 x^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - {(\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot x)}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{\frac{3}{2}}}{\sqrt{1 - {(\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot x)}^{2}}} - - \to

\int \frac{1}{\sqrt{2 - 3 x^{2}}} d x = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot

arcsin

(\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot x)

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16:09 Uhr, 08.04.2009

Kettenregel--->Substitutionsregel

(sin(e^x))´=

e^{x} \cdot cos (e^{x})

(ln(lnx))´=

\frac{1}{ln (x)} \cdot \frac{1}{x}

Also:

\int_{0}^{1} (e^{x} \cdot cos (e^{x})) d x = sin (e^{x}) |_{0}^{1} = sin (e) - sin (1)

\int_{e}^{e^{2}} \frac{1}{x} \cdot

lnx

d x = (ln

lnx

) |_{e}^{e^{2}} = ln 2

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16:40 Uhr, 08.04.2009

(arcsin(x))´=

\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

(\sqrt{(a - x^{2})}

)´=

\frac{- 2 x}{2 \cdot \sqrt{a - x^{2}}} = \frac{- x}{\sqrt{a - x^{2}}}

Also:

\frac{\sqrt{3 + x}}{\sqrt{3 - x}} = \frac{\sqrt{3 + x} \cdot (\sqrt{3 + x})}{\sqrt{3 - x} \cdot \sqrt{3 + x}} = \frac{3 + x}{\sqrt{9 - x^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} + \frac{x}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{3}}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}} + \frac{x}{\sqrt{9 - x^{2}}} - - - \to

\int_{0}^{3} ... d x = [3 \cdot

arcsin

(\frac{x}{3}) - \sqrt{9 - x^{2}} |_{0}^{3} = \frac{3}{2} \cdot π + 3

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17:10 Uhr, 08.04.2009

\int 1 \cdot (\sqrt{1 - x^{2}}) d x = . .

[

"*1 Trick"; part. Integ.

] = x \cdot \sqrt{1 - x^{2}} - \int \frac{- x \cdot x + 1 - 1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x = x \cdot \sqrt{1 - x^{2}} - \int (\sqrt{1 - x^{2}} d x

+ \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x - - \to \int (\sqrt{1 - x^{2}}) d x = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot \sqrt{1 - x^{2}} +

arcsin(x

))

Schließlich:

\int

x*arcsin(x)dx=

...

= \frac{1}{4} \cdot (x \cdot \sqrt{1 - x^{2}} + (2 x^{2} - 1) \cdot

arcsin

(x))

und

\int_{0}^{1} x \cdot

arcsin(x)dx

= \frac{π}{4}

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17:32 Uhr, 08.04.2009

Bogenlänge:

\int_{0}^{a} \sqrt{1 + {g (x)}^{2}} d x

g (x) =

f´(x)

\int_{0}^{a} \sqrt{1 + {sinh}^{2} (x)} d x = \int_{0}^{a} cosh (x) d x = sinh (a)

\int_{0}^{2} \sqrt{1 + {g (x)}^{2}} d x = \int_{0}^{2} \sqrt{1 + x^{2}} d x = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot \sqrt{1 + x^{2} +}

arsinh(x)

) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot \sqrt{5} + ln (2 + \sqrt{5}) - 1)

siehe hierzu auch de.wikipedia.org/wiki/Sinus_Hyperbolicus_und_Kosinus_Hyperbolicus

Fleißaufgabe zu Ende.
Wenn noch Fragen, bitte sagen.
MfG

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