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Stückkostenminimum

Schüler

Tags: Gesamtkosten, Stückkzahl

Visocnik aktiv_icon

20:52 Uhr, 04.12.2012

Die Gesamtkostenfunktion eines Betriebes lautet: K(x) = x^2 + 5x +18, wobei x größer oder gleich o bzw. kleiner gleich 20 ist.
a) Berechne das Stückkostenminimum.
b) In welchen Produktionsbereich arbeitet der Betrieb gewinnbringend, wenn der Marktpreis p = 16 GE/ME bzw. 24 GE/ME beträgt.
c) Welchen Wert darf der Marktpreis nicht unterschreiten, wenn der Betrieb die Gesamtkosten decken will? Bei welcher Produktionsmenge ist dies der Fall?

Wer kennt sich mit solchen Aufgaben aus. Erbitte dringend Hilfe! Danke im Voraus!

G(x) = E(x) - K(x)
K(x) = x^2 + 5x +18
K'(x)= 2x + 5
k(x) = x + 5 + 18/x

G(x) = E(x) - K(x)
G(16)= 16x- (x^2 +5x + 18)
x1 = 2
x2 = 9

2ME<=x=<9ME ..... stimmt!

G(x) = E(x) - K(x)
G(24) = 24x - (x^2 + 5x +18)
x1= 18
x2 = 1
1ME<=x<=18.........stimmt!

Die Nr. b) glaube ich richtig gelöst zu haben.
zu Nr. a) Berechne das Stückkostenminimum

K(x) = x^2 + 5x + 18/Stückzahl
Die erste Ableitung bilden und 0 setzen!
x + 5 +18/x = 0
Das glaube ich stimmt nicht!
Wer hilft mir bitte weiter?
Erg.: xopt =4,24 ME bei k=13,49 GE/ME

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

prodomo aktiv_icon

06:45 Uhr, 05.12.2012

Die Stückkosten sind richtig mit

y = \frac{x^{2} + 5 \cdot x + 18}{x}

angesetzt. Um den kleinsten Wert (Tiefpunkt) zu finden, musst du die erste Ableitung bilden und gleich 0 setzen. Der Funktionsterm ist ein Bruch, muss also nach der Quotientenregel behandelt werden. Mit

u (x) = x^{2} + 5 \cdot x + 18

und

v (x) = x

folgt

u' (x) = 2 \cdot x + 5

und

v' (x) = 1

. Damit ergibt sich

\frac{u' \cdot v - v' \cdot u}{v^{2}}

als

\frac{(2 \cdot x + 5) \cdot x - 1 \cdot (x^{2} + 5 \cdot x + 18)}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 18}{x^{2}}

. Wenn dieser Bruch 0 werden soll, muss der Zähler 0 werden. Aus

x^{2} - 18 = 0

folgt

x = \pm \sqrt{18} \approx 4,2426

. Aber das genügt noch nicht. Ein Tiefpunkt muss zwar

y' = 0

erfüllen, aber nicht jeder x-Wert, der diese Bedingung erfüllt, gehört auch zu einem Tiefpunkt. Wenn aber zusätzlich

y'' > 0

für diesen x-Wert gilt, dann ist der Tiefpunkt gesichert.

y''

erhältst du ebenso mit der Quotientenregl wie beim ersten Schritt. Jetzt

u (x) = x^{2} - 18

und

v (x) = x^{2},

also

u' (x) = 2 \cdot x

und

v' (x) = 2 \cdot x

. Das gibt

y'' (x) = \frac{2 \cdot x \cdot x^{2} - 2 \cdot x \cdot (x^{2} - 18)}{x^{4}} = \frac{36 \cdot x}{x^{4}} = \frac{36}{x^{3}},

wobei der letzte Schritt nur für

x

ungleich 0 gilt. Aber das ist sowieso ausgeschlossen, weil schon die Ausgangsfunktion für

x = 0

nicht definiert ist. Somit gilt

y'' (\sqrt{18}) = \frac{36}{18 \cdot \sqrt{18}} > 0

. Damit ist

x = \sqrt{18}

die Stelle mit den minimalen Stückkosten. Durch Einsetzen in die Stückkostenfunktion ergeben sich diese zu

13,485 .

. pro Stück

prodomo aktiv_icon

07:15 Uhr, 05.12.2012

Für

c)

kannst du die Lösung leicht verstehen, wenn du die Kostenfunktion und die beiden Erlösfunktionen (Geraden) für einen Marktpreis von

16

bzw.

24

zeichnest, wie ich es in der Anlage gemacht habe. Dort siehst du, wie die beiden Erlösgeraden die Kostenfunktion an den Stellen treffen, die du ausgerechnet hast. Du siehst aber auch, dass die Gerade für

16

flacher läuft als für

24

und dass bei ihr die Schnittpunkte enger zusammen liegen. Jetzt stelle dir vor, der Preis sinkt noch etwas weiter.Irgendwann läuft dann die Erlösgerade unter der Kostenkurve durch, es gäbe keinen Schnittpunkt und damit keine Gewinnzone. Das darf nicht passieren.Mindestens berühren muss die Erlösgerade die Kostenkurve. Für einen Berührpunkt müssen beide Funktionswerte gleich sein (das ist schon bei einem Schnittpunkt so) und auch die Steigungen beider Kurven müssen gleich sein. Also

E (x) = K (x)

und

E' (x) = K' (x)

. Mit dem unbekannten Marktpreis

p

ergibt sich

p \cdot x = x^{2} + 5 \cdot x + 18

und

p = 2 \cdot x + 5,

zusammen also

(2 \cdot x + 5) \cdot x - x^{2} + 5 \cdot x + 18 = 0

. Das ist genau der Zähler aus der Frage nach den minimalen Stückkosten, also ist die Lösung auch hier

13,49

.
Dafür habe ich die Gerade auch eingezeichnet.

Visocnik aktiv_icon

08:03 Uhr, 05.12.2012

Lieber prodomo!
Vielen vielen Dank. Ich muss jetzt zum Arzt, ich werde aber sofort, wenn ich zurückkomme das alles durchrechnen und dir dann Bescheid geben. Du bist wirklich der Helfer in der Not. DANKE!!!

Visocnik aktiv_icon

11:21 Uhr, 05.12.2012

Hallo, lieber prodomo!

Ich habe doch noch eine Rückfrage. Habe jetzt alles nachgerechnet und hoffentlich auch verstanden. bei c) komme ich allerdings nicht zurecht.
p= 2x + 5
p*x = x^2 + 5x + 18

hier komme ich nicht auf die von dir ausgerechneten 13,49

(2x + 5)*x - x^2 - 5x - 18 = 0
Müsste das nicht -5x - 18 ergeben, wenn ich alles auf die linke Seite bringe?

Da komme ich wieder auf die Lösung: x = Wurzel aus 18

Wo habe ich da wohl wieder Mist gebaut. Erbitte nochmals deine Hilfe!
PS: Bei 13,49 sehe ich bei den gezeichneten Funktionen und bei der Kostenkurve keinen Schnittpunkt.(Ich glaube, der Preis ergibt ja keinen, oder?) Alles andere ist klar.

prodomo aktiv_icon

13:57 Uhr, 05.12.2012

Es heißt

x^{2} = 18

. Die

13,49

sind das

p = 2 \cdot x + 5!

x \cdot (2 \cdot x + 5) - x^{2} - 5 \cdot x - 18 = 0

2 \cdot x^{2} + 5 \cdot x - x^{2} - 5 \cdot x - 18 = 0

x^{2} - 18 = 0

x^{2} = 18

wie oben

Visocnik aktiv_icon

14:04 Uhr, 05.12.2012

Lieber prodomo!
Danke für die rasche Reaktion. Vielen vielen Dank für deine sehr gute Hilfe und für deine viele Arbeit in den letzten Tagen. Es waren doch einige schwere Aufgaben zu bewältigen. Ich hoffe, dass ich auch in Zukunft mich wieder an dich wenden darf,wenn Probleme auftauchen. Dank! Danke!
B.

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