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Summe einer unendlichen Reihe verifizieren

Universität / Fachhochschule

Tags: Unendliche Reihe

Gisy123 aktiv_icon

18:00 Uhr, 22.05.2013

Ich soll folgende Summenformel beweisen:

\sum_{n = 0}^{n} {(n + 1)}^{2} \cdot x^{n} = \frac{1 + x}{{(1 - x)}^{3}}

Hinweis: Es muss etwas zu tun haben mit Binominalkoeffizienten, wie etwa bei

\sum_{n = 0}^{n} (\begin{matrix} α \\ n \end{matrix}) \cdot x^{n} = {(1 + x)}^{α}

für

x^{2} \leq 1

.

Ich kann mich erst Ende der Woche weiter mit der Aufgabe befassen, wäre Euch aber für einen Hinweis bis dahin sehr dankbar.

Für Hilfe dankt
Gisy

Bummerang

21:53 Uhr, 22.05.2013

Hallo,

bitte korrigiere Deine Terme, Summe von

n = 0

bis

n,

was soll das sein?

Bummerang

22:52 Uhr, 22.05.2013

Hallo,

ich denke, es sollte heissen:

\sum_{k = 0}^{\infty} ({(n + 1)}^{2} \cdot x^{n})

Betrachte die Funktion

f (x) = \frac{x^{2}}{1 - x} + ln (1 - x)

Die erste Ableitung dieser Funktion ist:

f' (x) = \frac{(1 - x) \cdot 2 \cdot x - x^{2} \cdot (- 1)}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{1}{1 - x} \cdot (- 1)

f' (x) = \frac{2 \cdot x - 2 \cdot x^{2} + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}} - \frac{1}{1 - x}

f' (x) = \frac{2 \cdot x - x^{2}}{{(1 - x)}^{2}} - \frac{1}{1 - x}

Die zweite Ableitung ist:

f'' (x) = \frac{{(1 - x)}^{2} \cdot (2 - 2 \cdot x) - (2 \cdot x - x^{2}) \cdot 2 \cdot (1 - x) \cdot (- 1)}{{(1 - x)}^{4}} - \frac{- 1}{{(1 - x)}^{2}} \cdot (- 1)

f'' (x) = \frac{(1 - x) \cdot (2 - 2 \cdot x) + (2 \cdot x - x^{2}) \cdot 2}{{(1 - x)}^{3}} - \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}

f'' (x) = \frac{2 - 2 \cdot x - 2 \cdot x + 2 \cdot x^{2} + 4 \cdot x - 2 \cdot x^{2}}{{(1 - x)}^{3}} - \frac{1 - x}{{(1 - x)}^{3}}

f'' (x) = \frac{2}{{(1 - x)}^{3}} - \frac{1 - x}{{(1 - x)}^{3}}

f'' (x) = \frac{2 - (1 - x)}{{(1 - x)}^{3}}

f'' (x) = \frac{2 - 1 + x}{{(1 - x)}^{3}}

f'' (x) = \frac{1 + x}{{(1 - x)}^{3}}

Aber man kann auch so schreiben:

f (x) = x^{2} \cdot \frac{1}{1 - x} + ln (1 - x) = x^{2} \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} (x^{n}) + ln (1 - x) = \sum_{n = 0}^{\infty} (x^{n + 2}) + ln (1 - x)

Bildet man davon die Ableitung, erhält man:

f' (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} ((n + 2) \cdot x^{n + 1}) - \frac{1}{1 - x}

f' (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} ((n + 2) \cdot x^{n + 1}) - \sum_{n = 0}^{\infty} (x^{n})

f' (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} ((n + 2) \cdot x^{n + 1}) - \sum_{n = 1}^{\infty} (x^{n}) - x^{0}

f' (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} ((n + 2) \cdot x^{n + 1}) - \sum_{n = 0}^{\infty} (x^{n + 1}) - 1

An dieser Stelle muss man erwähnen, dass beide Summen absolut konvergent sind und die Summanden somit umsortiert werden dürfen. Die absolute Konvergenz ergibt sich aus den Konvergenzradien

| x | < 1,

damit konvergieren diese Reihen auch für positive

x

und zu jedem negativen

x

ist

- x

positiv und im Konvergenzbereich und gleichzeitig ist

- x = | x |

. Somit kann man fortahren:

f' (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} ((n + 2) \cdot x^{n + 1} - x^{n + 1}) - 1

f' (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} ((n + 1) \cdot x^{n + 1}) - 1

Auch in dieser Form bildet man

f'' (x) :

f'' (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} ((n + 1) \cdot (n + 1) \cdot x^{n})

f'' (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} ({(n + 1)}^{2} \cdot x^{n})

Folglich gilt:

f'' (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} ({(n + 1)}^{2} \cdot x^{n})

UND

f'' (x) = \frac{1 + x}{{(1 - x)}^{3}}

Also ist:

\sum_{n = 0}^{\infty} ({(n + 1)}^{2} \cdot x^{n}) = \frac{1 + x}{{(1 - x)}^{3}}

Gisy123 aktiv_icon

18:37 Uhr, 23.05.2013

Hallo Bummerang,

ich habe aus Zeitgründen nur mal ganz kurz in deine Antwort hereingucken können. Vielen Dank für die große Mühe, die du dir mit der Lösung der Aufgabe gemacht hast.
Verstanden habe ich bis jetzt leider noch nicht, wie du zu der deus-ex-machina-Funktion f(x)gekommen bist. Gib mir dazu aber noch keinen Hinweis, da ich doch versuchen möchte, das selbst herauszufinden. Ich werde mich voraussichtlich am Sonntag wieder melden.

Nochmals herzlichen Dank

!!

Gisy

Gisy123 aktiv_icon

15:19 Uhr, 24.05.2013

Hallo Bummerang und alle weiteren Interessierten,

guck dir bzw. guckt euch doch bitte den Anhang an. Wieso komm ich nur mit deiner Funktion, lieber Bummerang, nicht klar ?

Gruß

Gisy

Bummerang

15:57 Uhr, 24.05.2013

Hallo,

der Fehler liegt darin, dass Du offensichtlich denkst, dass es genau eine Stammfunktion gibt, aber es gibt unendlich viele. Setze doch Dein Ergebnis gleich dem meinen, dann kannst Du Werte für

c

und

d

ermitteln, so dass beide Funktionen gleich sind!

PS:

c = d = - 1

Gisy123 aktiv_icon

17:20 Uhr, 24.05.2013

Hallo, Bummerang,

aber natürlich gibt es unendlich viele Stammfunktionen; das ist doch selbstverständlich wegen der freien Wahl von

c

und

d

.

Aber: Wie kommst du gerade auf diese Funktion ?? Das Rätsel ist für mich immer noch ungelöst, denn aus

\infty^{2}

Möglichkeiten genau eine und genau diese auszusuchen, muss man doch begründen können.

Neugierig auf deine Antwort grüßt dich

Gisy .

Bummerang

17:27 Uhr, 24.05.2013

Hallo,

die Begründung ist ganz einfach: jahrelange Erfahrung!

Gisy123 aktiv_icon

19:51 Uhr, 24.05.2013

Lieber Herr Bummerang,

ich nehme am Forum nicht teil, um nach einem mir nicht erklärtem, dafür aber um so ausführlicherem und daher besonders erklärungsbedürftigen Rezept ein mathematisches Süppchen zu kochen.

Nicht wie, sondern warum

!!

Bei allem Respekt: Mit "langjährige Erfahrung" läßt sich Ihr Lösungsansatz nicht begründen.

Ich werde mir ggf. erlauben, die Aufgabe noch einmal im Forum zu stellen.

Oder machen Sie es sich doch ganz einfach und geben Sie mir ihr Quelle an.

MfG

Gisy

Bummerang

22:03 Uhr, 24.05.2013

Hallo,

warum der eine in der Mathematik Wege findet, der andere nicht, hat tatsächlich vorwiegend mit Erfahrung zu tun! Meine Quelle sind die Poirot'schen grauen Zellen. Im übrigen funktioniert es auch mit der Funktion

\frac{1}{1 - x} + ln (1 - x) + c \cdot x + d

ohne dass man

c

und

d

explizit bestimmt, denn im ersten Ableitungsschritt verschwindet das

d,

im zweiten das

c,

das im ersten von

c \cdot x

übrig geblieben ist! Man tut sich nur etwas schwerer mit der Summe, da man die beiden nach dem Exponenten kleinsten Summanden zunächst aus der Summe herausholen muss, auch sie verschwinden dann beim Ableiten, und am Ende hat man eine Summe, die bei 2 beginnt und man muss noch eine Indexverschiebung durchführen. Da kann man die Summe doch gleich bei xˆ2 losgehen lassen und wenn man dann trotzdem beim Index

n = 0

starten will, muss man in der Summe mit xˆ(n+2) arbeiten. Dann aber kann man die xˆ2 aus der Summe herausziehen, die Summe in

\frac{1}{1 - x}

umformen und das ergibt nun mal xˆ2/(1-x). Entschuldigung, aber mit genügend Erfahrung sieht man sowas halt schon mal...

Gisy123 aktiv_icon

20:53 Uhr, 25.05.2013

Hallo Bummerang,

danke für deine Antwort auf meine letzte Eintragung. Die Erläuterungen waren zum Teil hilfreich.

Was aber die deus-ex-machina-Funktion angeht, kann ich nur mit Reich-Ranicki sagen: "Und so sehen wir betroffen, den Vorhang zu und alle Fragen offen".

Mein Respekt deinen grauen Zellen!

Gisy

Gisy123 aktiv_icon

19:26 Uhr, 03.06.2013

Hallo, die Aufgabe hat wegen des langen Liegenlassens bereits Schimmel angesetzt, aber da sie viele Interessenten gefunden hat, habe ich nach Bummerangs grauen Zellen auch noch einmal meine bemüht.

Zu beweisen war

\sum_{n = 0}^{n} {(n + 1)}^{2} \cdot x^{n} = \frac{1 + x}{{(1 - x)}^{3}}

für

x^{2} < 1

Mein Lösungsvorschlag benutzt bwie bei Bummerang die Differential- und Integralrechnung, ist jedoch etwas einfacher als seine Lösung.

Folgende Überlegung zuerst:

Wegen

(\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}) \cdot (\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}) = \sum_{n = 0}^{\infty} (\sum_{i = 0}^{n} x^{i} \cdot x^{n - i}) = \sum_{n = 0}^{\infty} (\sum_{i = 0}^{n} x^{n}) = \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) \cdot x^{n}

und
wegen

\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1 - x}

ist
(a)

{(\frac{1}{1 - x})}^{2} = \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) \cdot x^{n}

- - - - -

Nun zur Lösung der Aufgabe:

Integriert man die linke Seite

f (x) := \sum_{n = 0}^{n} {(n + 1)}^{2} \cdot x^{n} (b)

der zu beweisenden Gleichung, erhalten wir als eine Stammfunktion

F (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) \cdot x^{n + 1} = x \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) \cdot x^{n} \Rightarrow

F (x) = {(\frac{1}{1 - x})}^{2}

(wegen

(a)

.
Differenzieren wir nun

F (x),

um zur Funktion

f (x)

zurückzukommen, so folgt

f (x) = F' (x) = \frac{1 + x}{{(1 - x)}^{3}} (c)

(b)

zusammen mit

(c)

ist aber die Behauptung.

(Anm.: Wegen der absolute Konvergenz ist die Umordnung in den Reihen kein Problem.

Es grüßt (und ist ein bisschen stolz auf die obige - hoffentlich fehlerfreie - Lösung der Aufgabe)

gisy

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