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Summe und Produkt von Idealen

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: Ring

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21:07 Uhr, 25.10.2013

Hallo,

ich habe den Ring

R = {a + b \sqrt{- 5}

:

a, b \in ℤ}

vor mir und möchte das Produkt

(2, 1 + \sqrt{- 5}) * (3, 2 - \sqrt{- 5})

berechnen.

Nun haben wir das Produkt zweier Ideale

I, J

als

I * J = {\sum_{i = 0}^{n} α_{i} β_{i}

:

n \in ℕ, α_{i} \in I, β_{i} \in J}

definiert.

Aber wie berechne ich es hier nun konkrekt?

Gruß
ME

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

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22:10 Uhr, 25.10.2013

Ist vermutlich keine große Sache, aber ich weiß einfach nicht, wie ich hier das Produkt bilden kann. Kann mir niemand helfen?

Sina86

00:01 Uhr, 26.10.2013

Hallo,

es gilt ja

I := (2, 1 + \sqrt{- 5}) = {2 a + (1 + \sqrt{- 5}) b ∣ a, b \in R}

und

J := (3, 2 - \sqrt{- 5}) = {3 a + (2 - \sqrt{- 5}) b ∣ a, b \in R}

. Jetzt schau dir die Definition an. Ein Element in

I * J

hat ja die Form

\sum_{i = 0}^{n} α_{i} β_{i}

mit

α_{i} \in I, β_{i} \in J

. Nun musst du für

α_{i}

und

β_{i}

nur noch die oberen Formen aus den Idealen einsetzen. Wir schreiben also

α_{i} = 2 a_{i} + (1 + \sqrt{- 5}) b_{i}

und

β_{i} = 3 c_{i} + (2 - \sqrt{- 5}) d_{i}

. Dann ist

\sum_{i = 0}^{n} α_{i} β_{i} = \sum_{i = 0}^{n} (2 a_{i} + (1 + \sqrt{- 5}) b_{i}) (3 c_{i} + (2 - \sqrt{- 5}) d_{i})

= \sum_{i = 0}^{n} 6 a_{i} c_{i} + (3 + 3 \sqrt{- 5}) b_{i} c_{i} + (4 - 2 \sqrt{- 5}) a_{i} d_{i} + (8 + \sqrt{- 5}) b_{i} d_{i}

(bitte nachrechnen)

Dann ist also

I * J = {\sum_{i = 0}^{n} 6 a_{i} c_{i} + (3 + 3 \sqrt{- 5}) b_{i} c_{i} + (4 - 2 \sqrt{- 5}) a_{i} d_{i} + (8 + \sqrt{- 5}) b_{i} d_{i} ∣ a_{i}, b_{i}, c_{i}, d_{i} \in R}

Lieben Gruß
Sina

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11:46 Uhr, 26.10.2013

Hallo Sina,

vielen Dank für deine Antwort. Aber ist denn die Menge die du da hingeschrieben hast nicht einfach das Ideal

(6, 3 + 3 \sqrt{- 5}, 4 - 2 \sqrt{- 5}, 8 + \sqrt{- 5})

...

Ich dachte man könnte da eventuell noch etwas vereinfachen. Es ist ja z.B.

6 = (1 + \sqrt{- 5}) (1 - \sqrt{- 5})

...

Sina86

12:04 Uhr, 26.10.2013

Hallo,

hm, ich denke, das ist leider nicht das Ergebnis, denn

(6, 3 + 3 \sqrt{- 5}, 4 - 2 \sqrt{- 5}, 8 + \sqrt{- 5}) = {6 a + (3 + 3 \sqrt{- 5}) b + (4 - 2 \sqrt{- 5}) c + (8 + \sqrt{- 5}) d ∣ a, b, c, d \in R}

das obige

I * J

sieht ähnlich aus, jedoch stehen an den Stellen für

a, b, c, d

irgendwelche Multiplikationen von

a_{i}, b_{i}, c_{i}

und

d_{i}

. Die sind voneinander abhängig. Ich bezweifle, dass man diese Zahlen so wählen kann, dass man beliebige Zahlen

a, b, c, d

an deren Stelle herausbekommt.

Andererseits hat man da ja auch noch die Summe davorstehen... Schwierige Frage, ich bin grade nicht imstande die zu beantworten, es fehlt auf jeden Fall ein Beweis. Jedoch glaube ich, dass die Antwort negativ ist...

Lieben Gruß
Sina

Sina86

12:32 Uhr, 26.10.2013

Entschuldige, ich nehme alles zurück. Natürlich hast du Recht und es ist auch sehr simpel zu zeigen.

Man will ja zeigen

(6, 3 + 3 \sqrt{- 5}, 4 - 2 \sqrt{- 5}, 8 + \sqrt{- 5}) = I * J

, dabei ist "

\supseteq

" einfach, denn man setzt einfach

a := \sum_{i = 0}^{n} a_{i} c_{i}

b := \sum_{i = 0}^{n} b_{i} c_{i}

c := \sum_{i = 0}^{n} a_{i} d_{i}

und

d := \sum_{i = 0}^{n} b_{i} d_{i}

.

Ist hingegen

6 a + (3 + 3 \sqrt{- 5}) b + (4 - 2 \sqrt{- 5}) c + (8 + \sqrt{- 5}) d

gegeben, so wähle

a_{0} = a, c_{0} = 1, b_{0} = d_{0} = 0

. Dann

b_{1} = b, c_{1} = 1, a_{1} = d_{1} = 0

etc. Hier verwenden wir aber, dass

R

ein Ring mit Eins ist. Das scheint essentiell zu sein.

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14:52 Uhr, 30.10.2013

Vielen Dank für Deine Hilfe; war gar nicht so schwer, wie gedacht ;-)

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