Taylor-Polynom: Steh auf dem Schlauch suche Fehler

Hallo Mathefreunde. Suche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Gegeben ist ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{w<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2}$

Es soll das Taylor-Polynom 3. Grades angegeben werden. Hab die Aufgabe davor mit dem Entwicklungspunkt = 1 durchgerechnet und es hat geklappt (Zufall?). Hier hänge ich allerdings, da meine Entwicklung nicht der der Lösung entspricht. Habe es schon x-Mal durchgekaut, stehe aber scheinbar auf dem Schlauch.

Als Ableitungen mit eingesetztem Entwicklungspunkt erhalte ich:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(2\right)=\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(2\right){\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left(2\right)=0,5{{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }}^{\prime }\left(2\right)=-0,25{{{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }}^{\prime }}^{\prime }\left(2\right)=0,25}$

...und so sieht mein Taylorpoynom aus:

$$\begin{gathered} {\displaystyle {\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2^3\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(2\right)\cdot 2}{0!}\cdot {(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2)}^0+\frac{0,5\cdot 2}{1!}\cdot {(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2)}^1+\frac{(-0,25)\cdot 2}{2!}\cdot {(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2)}^2+\frac{(0,25)\cdot 2}{3!}\cdot {(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2)}^3 \\ =1,3863\cdot {(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2)}^0+(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2)-0,25\cdot {(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2)}^2+\frac{1}{12}{\cdot (\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2)}^3} \end{gathered}$$

Wo ist der Fehler? Als Anhaltspunkt hier mal die offizielle Lösung:

${\displaystyle {\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2^3\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{ln<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(2\right)+\frac{(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2)}{2}-{\frac{(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2)}{8}}^2+\frac{{(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2)}^3}{24}}$

Mir kommt es so vor, als ob die den ganzen Therm (sagt man das so?) ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ genommen haben.

Wäre Euch sehr dankbar, wenn Ihr mir weiterhelfen könntet.

Max