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Taylor Reihe und Aussagen

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Funktionenreihen

Tags: Funktionenreihen, Funktionentheorie, Taylor Approximation

 
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Euklidia

Euklidia aktiv_icon

12:26 Uhr, 11.02.2016

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Hallo,
Ich habe mir ein paar Gedanken zur Taylor Approximation von Funktionen gemacht.
Und ich komme da zu keinem Ergebnis, deswegen frage ich hier :-))
Passt auf, also:

1) Wenn ich eine beliebige Funktionen mit einer Taylor Expansion approximiere bis sagen wir mal zum 5. Grade und feststelle, dass die Approximierung schon sehr gut aussieht, was kann ich dann zu der gewonnenen (approximierten Variante der) Funktion an Aussagen machen, die ich zu der unbekannten Ausgangsfunktion nicht machen kann?

Das geht in die Richtung von, hat die Funktion gewisse Eigenschaften wenn sie maximal 5. Ordnung ist usw. Mich interessiert also was mir an Wegen offen steht wenn ich feststelle, dass ich mit recht wenig Koeffizienten gut mit Taylor approximieren kann.

2) Gibt es Anwendungsbereiche wo solche Approximierungen in der Praxis notwendig sind?

Ich weiss, meine Frage ist nicht sonderlich prezise formuliert, aber ich freue mich wenn es zu einer kleinen Diskussion zu dem Thema kommt.

LG
Sina

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ledum

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17:12 Uhr, 11.02.2016

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Hallo
du entwickelst ja f um einen Punkt, die approximativ ist dann nur in einem Intervall um den Punkt gut, und da wird die funktion auch recht genau beschrieben
wie denkst du etwa berechnet ein Computer oder TR
sin(x) oder ex für verschiedene werte von x.?
die efkt ist etwa definiert durch f'=f. f(0)=1
damit kannst du dann e0.2 recht genau mit 5. tem Taylor
ebenso für sin(x) definiert durch f''=-f,f(0)=0,f'(0)=1
auch andere Dgl kannst du oft so lösen!
Gruss ledum
Euklidia

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22:00 Uhr, 11.02.2016

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Ok, das ist schonmal sehr anschaulich erklärt, vielen Dank!

Und dann noch einmal zu meiner ersten Frage. Sagen wir mal ich habe eine völlig unbekannte Funktionen, zum Beispiel aus aufgenommenen Daten von einem Experiment.

Nun frage ich mich welche allgemeinen Aussagen ich über diese Funktion treffen kann, wenn ich sie zum Beispiel sehr gut mit Ordnung N Taylor approximieren kann?

Also so etwas wie Konvergenzaussagen, oder gibt es andere allgemeine Aussagen die ich Treffen kann anhand der Menge von Taylor Koeffizienten die ich brauche um gut zu approximieren? Und ist das besonders bei periodischen Funktionen?

Ich möchte gern ein Gefühl für die Mächtigkeit des Tools Taylor Approximation bekommen und da ist das basic Beispiel schonmal toll gewesen, was gibt es noch zu wissen?
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ledum

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22:53 Uhr, 11.02.2016

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Hallo
wenn du eine Funktion punktweise durch Messungen gegeben hast kannst du keine Taylorreihe bzw Taylorpolynom aufstellen, denn dazu musst du ja funktionswert und Ableitungen an einer Stelle kennen.
Um Messdaten durch eine Funktion zu approximieren benutzt man ganz andere Methoden.
Und nochmal l der Grad des TP das du brauchst, hängt davon ab, wie weit von der Entwicklungsstufe du bist.
plotte doch mal ex und die ersten paar Taylorpolynome, ebenso sin(x)
periodische Funktionen ausser sin und cos selbst nähert man durch Fourrerreihen an, da kommt ihr sicher bald hin
das sind Summen von sin und cos Funktion mit Vielfachen der Periode der periodischen Funktion
Gruß ledum
Euklidia

Euklidia aktiv_icon

11:13 Uhr, 12.02.2016

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OK, die Fourier Reihe kommt jetzt bald, ja!

Was ich aber nicht verstehe, ist warum ich meine Ableitung nicht kenne, wenn ich sagen wir mal nahezu unendlich viele Messpunkte habe. Die Ableitung kann ich doch anhand von mehreren nebeneinander liegenden Messpunkten "per Hand" bestimmen oder nicht?

Ich glaube mir fehlt der Praxisbezug ein wenig soweit.
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ledum

ledum aktiv_icon

13:36 Uhr, 12.02.2016

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Hallo
1, hast du nie nahezu unendlich viele Punkte!
2. durch n Punkte kann man immer ein Polynom n-1 ten Grades legen ohne Taylor.
3. wie machst du das mit den Ableitungen in einem Punkt? nimm mal gedachte "Messwerte" die z. B genau auf y=sin(x) oder y=ex liegen , nimm willkürlich zwischen 0 und π25 "Messwerte. wie findest du jetzt die ersten 3 Ableitungen?
besser du suchst ein Polynom 4 ten Grades, das durch die 5 Punkte geht, allerdings kannst du nicht erwarten dass es ausserhalb des Bereichs deiner Messwerte, die fkt noch annähert.
Taylor wird nicht benutzt meine fit an Messungen anzupassen!!
Gruß ledum
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