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Taylor reihe spezial fall Binom a=1 und b = x

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Binom, Folgen und Reihen, Taylorreihe

Hamapplemann aktiv_icon

21:10 Uhr, 20.09.2017

Hallo,
ich habe zwei kleine Fragen da ich hier bei diesen zwei punkte nicht weiter komme und weiterlernen will bis ich einige Antworten bekomme.

Das erste was in einem recht kleinen buch namens "vorkurs mathe für physiker" der uni heidelberg nicht verstehe ist

\to 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{r (r - 1) (r - 2) (r - 3) ... (r - n + 1)}{n!} = \sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{matrix} r \\ n \end{matrix}) x^{n}

wie kommt der Autor von

1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \to \sum_{n = 0}^{\infty}

ich verstehe es einfach nicht....

: {

und warum bricht die gleiche potenz reihe wo gilt

r = n \in ℕ

ab??

Vieln Dank schon im Vorraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Vorwissen

abakus

21:34 Uhr, 20.09.2017

Bitte korrigiere die Aufgabenstellung.
Rechts kommen Potenzen von x vor und links nicht???

"und warum bricht die gleiche potenz reihe wo gilt r=n∈ℕ ab??"

Der Binomialkoeffizient ist 0, wenn n<r gilt.

Hamapplemann aktiv_icon

22:20 Uhr, 20.09.2017

Nun das ist ja meine Frage ich folge dieseer anleitung die zu einem reibungslosen start verhelfen soll aber das ist was da steht,
das

800

seitige buch über Calculus war viel einfacher verständlich als das hier

: (

also ich zitiere die stelle im buch, alles davor ist leicht verständlich ausser das mit der

1 + \sum_{n = 1}^{\infty} = \sum_{n = 0}^{\infty}

/ /

zitat
Einige spezialfälle sind von wichtigkeit:
Zunächst fnden wir für natürliche

r = n \in ℕ

unsere früher abgeleitete binomische Formel'die Formel oben in meiner frage' wieder für den Spezialfall

a = 1

und

b = x,

da die Potenzreihe im Fall natürlicher Exponenten abbricht:

{(1 + x)}^{n} = \sum_{n = 0}^{m} (\begin{matrix} m \\ n \end{matrix}) x^{n}

/ /

zitat ende

awww ja sehe ich jetz °-°

also oben muss stehen

1 + \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{r (r - 1) (r - 2) (r - 3) ... (r - n + 1)}{n!}) \cdot x^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{matrix} r \\ n \end{matrix}) \cdot x^{n}

ledum aktiv_icon

03:26 Uhr, 21.09.2017

Hallo
ich verstehe nicht, wo noch eine Frage ist? wenn es das

1 + \sum

ist, wegen

(\begin{matrix} r \\ 0 \end{matrix}) = 1

ist die

1

in die Summe gewandert.
(Mathe für Physiker ist oft schlechter, als die richtige Mathe, die wollen vereinfachen und verunsichern dabei)
Gruß ledum

Hamapplemann aktiv_icon

10:10 Uhr, 21.09.2017

oke gut jetzt sehe ich es du hast vollkommen recht °-° alles macht Sinn,
Danke ledum ein zweites mal.....

und ja da hast du volkommen recht in denn werken für physiker beschreibt der/die
Autor/Autorin etwas aber danach wars das auch, nur mal kurz erwähnt und dann gehts weiter.
sowas macht mir echt kopfschmerzen ich habe schon eine zusammenfassung gescshrieben und nun schreibe ich noch eine weil bei der ersten so viel fehlt

: (

nun aber nochmal zurück auf meine fragen, laut meinem Zitat oben soll die geometrische potenz-Reihe bei

r = n \in ℕ

abbrechen dazu schreiben die hier das summenZeichen für die Reihe als Teilsumme??! oder

\sum_{n = 0}^{m}

statt

\sum_{n = 0}^{\infty},

warum bricht die Reihe ab ??!!

pwmeyer aktiv_icon

11:22 Uhr, 21.09.2017

Hallo,

zunächst ist in Deinem Zitat für den Fall

r = n \in ℕ

ein Fehler mit den Indizes. Richtig ist:

{(1 + x)}^{n} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) x^{k} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) x^{k}

Denn für

k > n

ist der Zähler für den Binomialkoeffizient

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})

ein Produkt, das den Faktor

n - n = 0

enthält, also

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = 0

.

Gruß pwm

Hamapplemann aktiv_icon

11:36 Uhr, 21.09.2017

Hallo Pwm,
also was du meinst habe ich verstanden, nur da verstehe ich nicht warum wir das

\infty

mit dem

m

ersetzen, denn bei deiner aussage wird

k

niemals größer als

\infty,

dazu auch noch ist es ja eine Taylor-Reihe was heist je höher

n (

in deiner aussage) desto genauer das ergebnis, und da sich diese reihe unendlich nahe dem echten Wert nähert wie kann es sein das es dan abrupt abbricht.
dazu auch noch das zitat steht genau so im buch, weiter dazu wird im buch nicht gesagt danach fangen die mit Taylor-Reihen für Trigonimetrische funktionen an

: C

.

Ich frag mal anderes könnt Ihr mir vieleicht ein Buch empfehlen das nach eurer meinung dieses Thema besser erklärt??

Hamapplemann aktiv_icon

11:42 Uhr, 21.09.2017

Oke alles Palleti, habs endlich verstanden pwmeyer danke dir XD
das es abbricht verstehe ich jetzt und warum es bei

r \in ℝ

nicht abbricht auch; yup vielen Dank:....

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