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Taylorreihe f(x)=sinx*cosx

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Kosinus, Reihen, Taylorreihe

Nullblicker aktiv_icon

23:19 Uhr, 15.01.2009

Hallo und Guten Abend, kann mir jemand bei der Taylorreihe weiter helfen, ich suche die Tailerreihe von. f(x)=sinx*cosx um den Entwicklungspunkt

x 0 = 0 .

Wie geht man hier vor?
Vielen Dank und schönen Abend!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Additionstheoreme
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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00:39 Uhr, 17.01.2009

Hilfe, weiß niemand, was hier zu tun ist???? Daaaaaaaanke-!

DK2ZA aktiv_icon

09:15 Uhr, 17.01.2009

Tipp:

Verwende

sin (x) \cdot cos (x) = \frac{1}{2} \cdot sin (2 \cdot x)

.

GRUSS, DK2ZA

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09:35 Uhr, 17.01.2009

vielen Dank für den Tipp, nur leider weiß ich nicht, was ich damit nun tun soll?! Lass ich dann die Taylorsumme gegen unendliche laufen, oder was? Also ich kenne ja nur die Taylorsumme, die ich normal für die ersten drei Ableitungen bilde (bei

p 3)

und dann kommt ein Polynom heraus... nur was ist die Taylorreihe? Also wie bilde ich das dann?! Dankeschön!

DK2ZA aktiv_icon

17:20 Uhr, 17.01.2009

Die gegebene Funktion

f (x) = sin (x) \cdot cos (x) = \frac{1}{2} \cdot sin (2 \cdot x)

wird ersetzt durch diese um

x = 0

entwickelte Potenzreihe nach Taylor:

f (x) = f (0) + \frac{f' (0)}{1!} \cdot x + \frac{f'' (0)}{2!} \cdot x^{2} + \frac{f'' (0)}{3!} \cdot x^{3} + . .

f (0) = 0

f' (0) = cos (2 \cdot 0) = 1

f'' (0) = - 2 \cdot sin (2 \cdot 0) = 0

f''' (0) = - 4 \cdot cos (2 \cdot 0) = - 4

f^{4} (0) = 8 \cdot sin (2 \cdot 0) = 0

f^{5} (0) = 16 \cdot cos (2 \cdot 0) = 16

f^{6} (0) = - 32 \cdot sin (2 \cdot 0) = 0

f^{7} (0) = - 64 \cdot cos (2 \cdot 0) = - 64

f^{8} (0) = 128 \cdot sin (2 \cdot 0) = 0

f^{9} (0) = 256 \cdot cos (2 \cdot 0) = 256

f^{10} (0) = - 512 \cdot sin (2 \cdot 0) = 0

f^{11} (0) = - 1024 \cdot cos (2 \cdot 0) = - 1024

Damit ergibt sich die Reihe

f (x) = \frac{2^{0}}{1!} \cdot x - \frac{2^{2}}{3!} \cdot x^{3} + \frac{2^{4}}{5!} \cdot x^{5} - \frac{2^{6}}{7!} \cdot x^{7} + \frac{2^{8}}{9!} \cdot x^{9} - \frac{2^{10}}{11!} \cdot x^{10} + . .

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \cdot \frac{2^{2 \cdot n}}{(2 \cdot n + 1)!} \cdot x^{2 \cdot n + 1}

In der beigefügten Abbildung kann man gut erkennen, wie mit zunehmender Anzahl der Glieder der Taylorreihe die Funktion

f (x)

immer besser angenähert wird.

Die Ziffern bedeuten

1 : \frac{2^{0}}{1!} \cdot x = x

2 : \frac{2^{0}}{1!} \cdot x - \frac{2^{2}}{3!} \cdot x^{3}

3 : \frac{2^{0}}{1!} \cdot x - \frac{2^{2}}{3!} \cdot x^{3} + \frac{2^{4}}{5!} \cdot x^{5}

4 : \frac{2^{0}}{1!} \cdot x - \frac{2^{2}}{3!} \cdot x^{3} + \frac{2^{4}}{5!} \cdot x^{5} - \frac{2^{6}}{7!} \cdot x^{7}

5 : \frac{2^{0}}{1!} \cdot x - \frac{2^{2}}{3!} \cdot x^{3} + \frac{2^{4}}{5!} \cdot x^{5} - \frac{2^{6}}{7!} \cdot x^{7} + \frac{2^{8}}{9!} \cdot x^{9}

usw...

GRUSS, DK2ZA

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22:31 Uhr, 17.01.2009

Oh wunderbar, vielen dank, das habe ich verstanden, allerdings ist mir noch unklar, warum gerade sinx*cosx=

\frac{1}{2} sin 2 x

ist?! Also es steht auch so in meiner Formelsammlung, aber herleiten kann ich das nicht?! Wäre toll, wenn ich diese Lücke auch noch schließen könnte! Dankeschön...

DK2ZA aktiv_icon

09:42 Uhr, 18.01.2009

Das ist ein Sonderfall des Additionstheorems

sin (a + b) = sin (a) \cdot cos (b) + cos (a) \cdot sin (b)

Wenn

b = a

ist erhält man

sin (2 \cdot a) = 2 \cdot sin (a) \cdot cos (a)

Den Beweis für das Additionstheorem findest du mit Hilfe von Google.

GRUSS, DK2ZA

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10:52 Uhr, 18.01.2009

okay, prima Sache! Vielen Dank...

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