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Totales Differenzial

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Tags: Sonstiges

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20:44 Uhr, 09.02.2010

Hi,

Wie kann ich das totale Differenzial in Polarkoordinaten ausrechnen?

lg,

Ahmed

smoka

21:20 Uhr, 09.02.2010

genauso wie in kartesischen Koordinaten.

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22:37 Uhr, 09.02.2010

In kartesischen Koordinaten heißt es ja:

d p = \frac{\partial p}{\partial x} d x + \frac{\partial p}{\partial y} d y

Aber in Polar:

d p = \frac{\partial p}{\partial r} d r + \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial p}{\partial φ} d φ

Wie kommt man nun darauf??

smoka

22:50 Uhr, 09.02.2010

Wo kommt denn das

\frac{1}{r}

im letzen Summanden her?
Wie man darauf kommt? Darauf muss man nich kommen, das ist so definiert ;-)

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23:06 Uhr, 09.02.2010

Nichts ist so definiert. Das ist Mathematik.

smoka

00:19 Uhr, 10.02.2010

"Nichts ist so definiert. Das ist Mathematik."
-Vielleicht solltest Du mal einen Blick in ein Mathematikbuch oder -Skript werfen und Deine Aussage noch mal überdenken.

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11:26 Uhr, 10.02.2010

Hallo Smoka,

Ja, das habe ich:

http//de.wikipedia.org/wiki/Krummlinige_Koordinaten#Koordinatenfl.C3.A4che

Was ist h_(ui)? Wie kommt man von 1 auf 2?

smoka

11:38 Uhr, 10.02.2010

"Ja, das habe ich:"
-Ist Dir dabei vielleicht aufgefallen, dass die Mathematik nur so mit Definitionen um sich schmeisst?

"Was ist h_(ui)? Wie kommt man von 1 auf 2?"
Lies mal weiter oben im Dokument, dort ist

h_{u i}

"definiert" ;-)
http//de.wikipedia.org/wiki/Krummlinige_Koordinaten#Basisvektoren

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18:31 Uhr, 10.02.2010

Ich bleibe bei " Nichts ist so definiert. Das ist Mathematik. "

smoka

18:54 Uhr, 10.02.2010

Das ist natürlich vollkommen Dir überlassen.

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20:47 Uhr, 10.02.2010

www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1193#s8260
Die Herleitung von

(3.5)

ist interessant. Aber

(3.2)

kapiere ich nicht ganz.

OmegaPirat

22:15 Uhr, 10.02.2010

Das h_ui ist der Betrag des Bogendifferentials entlang der Koordinatenlinie

u_{i}

Wie mein Vorposter bereits erwähnt, berechnet sich das totale Differential in jedem Koordinatensystem gleich.

Beweis:
Der Ausgangspunkt ist das totale Differential in kartesischen Koordinaten

d f = \sum_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} \cdot {d x}_{i}

nun geht man in ein anderes System mit den Koordinaten

u_{i}

über. Dabei sind die

x_{i}

von den

u_{i}

abhängig. Es gibt Transformationsformeln, die zwischen den koordinatensystemen transformieren.

\Rightarrow

{d x}_{i} = \sum_{j} \frac{\partial x_{i}}{\partial u_{j}} \cdot d u_{j}

außerdem folgt aus der kettenregel

\frac{\partial f}{\partial x_{i}} = \sum_{k} \frac{\partial f}{\partial u_{k}} \cdot \frac{\partial u_{k}}{\partial x_{i}}

Dies setzt man alles oben ein und man erhält:

d f = \sum_{i j k} \frac{\partial f}{\partial u_{k}} \cdot \frac{\partial u_{k}}{\partial x_{i}} \cdot \frac{\partial x_{i}}{\partial u_{j}} \cdot d u_{j} = \sum_{j k} \frac{\partial f}{\partial u_{k}} \cdot \frac{\partial u_{k}}{\partial u_{j}} \cdot d u_{j} = \sum_{j} \frac{\partial f}{\partial u_{j}} d u_{j}

q . e . d

in den letzten beiden Schritten wurde dabei die Kettenregel angewandt.
Beim wikipedialink gibt es jetzt nur eine alternative notation und zwar lässt sich jeder vektor als einen einheitsvektor in der gleichen richtung mal seinen betrag darstellen. Nichts anderes haben die in wikipedia gemacht.

ahmedhos aktiv_icon

15:12 Uhr, 12.02.2010

Vielen Dank für die Hilfe.

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