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Trennung der Variablen

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: DGL, DGl 1. Ordnung, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Trennung der Variablen

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19:27 Uhr, 12.08.2017

Hallo zusammen,

ich komme bei einer Aufgabe absolut nicht weiter, bzw. mitlerweile bin ich so verwirrt das ich nicht mehr weiß wo ich anfangen soll. Gelöst werden soll mit der Trennung der Variablen.

(1 + x^{2}) \cdot

\cdot \frac{d y}{d x} = 1 + y^{2}

die Lösung ist:

1 + y^{2} = \frac{c \cdot x^{2}}{1 + x^{2}}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

19:40 Uhr, 12.08.2017

Und was ist dein erster Schritt im Versuch, die Variablen zu trennen?
Schaff doch mal alle

x

nach rechts.
Tipp: Behandle

(1 + y^{2})

als einen zusammengehörigen Term.

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19:45 Uhr, 12.08.2017

edit: genau den fehler gemacht auf den du hingewiesen hast:

\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) x} d x

Roman-22

19:52 Uhr, 12.08.2017

;-) OK, dann erspar ich mir das Meckern.
Jetzt stimmts jedenfalls.
Na, die linke Seite sollte ja beim Integrieren keine Probleme bereiten (im Zähler steht bis auf den Faktor 2 die Ableitung des Nenners) und rechts würde ich eine PBZ vorschlagen.

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20:33 Uhr, 12.08.2017

Die linke seite ist kein Problem. Die Partialbruchzerlegung schon, hier hänge ich auch schon. Für heute mache ich aber feierabend, ich glaube das hat keinen zweck mehr. Mit der dreifachen nullstele kämpfe ich morgen weiter. Hast du einen Tipp wie du erkannt hast das man da am besten mit der Partialbruchzerlegung weiter macht?

Roman-22

20:51 Uhr, 12.08.2017

Da gibts keine dreifache Nullstelle des Nenners! Es gibt eine reelle Nullstelle

(0)

und ein Paar konjugiert komplexer Nullstellen

(\pm i)

.
Das eine zerlegung mit komplexen Faktoren hier wenig Sinn macht, solltest du den Ansatz

\frac{1}{x \cdot (x^{2} + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B \cdot x + C}{x^{2} + 1}

wählen und hoffentlich auf

A = 1, B = - 1

und

C = 0

kommen.

>

Hast du einen Tipp wie du erkannt hast das man da am besten mit der Partialbruchzerlegung weiter macht?
Eben weil der Nenner noch in

x \cdot (...)

zerlegbar ist, benutzt man die PBZ um die Sache handlicher zu machen.

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