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Trigometrische Beziehungen, Schwingungen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionalanalysis

Tags: Differentiation, Funktionalanalysis

mck90 aktiv_icon

15:08 Uhr, 06.12.2015

Hallo zusammen,
Ich hänge schon seit Ewigkeiten an dieser Aufgabe und komme nicht weiter. Ich hoffe ihr könnt mir auf die Sprünge helfen.

Durch probieren habe ich rausgefunden das

A = 2 \sqrt{3}

ist und

φ =

2pi/3

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

15:20 Uhr, 06.12.2015

Hallo
Ich würde mich dem Aufgabensteller anschließen, und empfehlen:
Zerlegen Sie den Zielausdruck

A \cdot sin (2 \cdot t + φ)

über das Additionstheorem.

PS:

sin (a + b) = sin (a) \cdot cos (b) + sin (b) \cdot cos (a)

Dann:
Vergleichen Sie (die zeitunabhängigen Anteile) mit dem Original.

Zeig mal, wie weit du kommst...

mck90 aktiv_icon

19:34 Uhr, 06.12.2015

Das ist mir bis hier hin klar gewesen:-).

(sin (φ) cos (2 t) + (cos (φ)

sind(2t)) A

dann habe ich durch hin und her, bzw durch umformen der Funktionen versucht irgendwas sinvolles zu erschaffen. Jedoch muss ich auf dem Schlauch stehen.

mfg

mck90 aktiv_icon

19:34 Uhr, 06.12.2015

Das ist mir bis hier hin klar gewesen:-).

(sin (φ) cos (2 t) + (cos (φ)

sind(2t)) A

dann habe ich durch hin und her, bzw durch umformen der Funktionen versucht irgendwas sinvolles zu erschaffen. Jedoch muss ich auf dem Schlauch stehen.

mfg

Roman-22

20:33 Uhr, 06.12.2015

>

dann habe ich durch hin und her, bzw durch umformen der Funktionen versucht irgendwas sinvolles zu erschaffen
Du sollst laut Hinweis in der Angabe auch nicht umformen, sondern die "zeitunabhängigen" Anteile vergleichen.
Also vergleiche (setze gleich) die Koeffizienten von

sin (2 t)

und

cos (2 t)

in der Angabe und in deiner Zerlegung.
Du bekommst Ausdrücke für

sin (φ)

und

cos (φ)

und solltest auch noch

{sin}^{2} φ + {cos}^{2} φ = 1

nutzen.

Du bekommst damit

A = 2 \sqrt{3}

und danach

φ = 2 \frac{π}{3},

so wie du es durch Probieren schon herausgefunden hast.

R

mck90 aktiv_icon

14:06 Uhr, 07.12.2015

Sorry, ich bin bis jetzt noch nicht wirklich weiter gekommen. Hänge immernoch am selben Punkt. Ich habe das Additionstheorem vom Zielausdruck gleichgesetzt mit der Orginalfunktion. Da hab ich jetzt immernoch

A, φ

und

t

als unbekannte. Da es Zeitunabhänig ist kann ich

t = 0

setzten?Oder wie geht es ab hier weiter?

mfg

mck90 aktiv_icon

16:24 Uhr, 07.12.2015

update: A habe ich mir jetzt erarbeitet :-). Jedoch bin ich mit der Lösung von

φ

noch nicht ganz einverstanden.

φ =

arctan(3sin(pi/2)

+

Wurzel(3)sin(pi)) / (3cos(pi/2)

+

Wurzel(3)cos(pi))

φ = \frac{Π}{3}

Jedoch sollte

2 \cdot \frac{Π}{3}

richtig sein....? Muss muss ich jetzt das errechnete

φ

von

π

nochmal abziehen?

Roman-22

22:33 Uhr, 07.12.2015

Du musst einfach konsequenter vorgehen.

Der Koeffizientenvergleich brachte dir die Gleichungen

sin φ = \frac{3}{A}

und

cos φ = - \frac{\sqrt{3}}{A}

.

Vermöge

{sin}^{2} φ + {cos}^{2} φ = 1

kommt man auf

A^{2} = 12

und somit

A = 2 \sqrt{3}

.

Jetzt gilt also

sin φ = \frac{3}{2} \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

UND

cos φ = - \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} = - \frac{1}{2}

.

Bestimmen wir nun ALLE möglichen Werte für

φ \in [0; 2 π) :

sin φ = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow φ_{1} = a r c s i n (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{π}{3}

φ_{2} = π - a r c s i n (\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{2 π}{3}

Ebenso für

cos φ = - \frac{1}{2} \Rightarrow φ_{3} = a r c c o s (- \frac{1}{2}) = \frac{2 π}{3}

φ_{4} = 2 π - a r c c o s (- \frac{1}{2}) = \frac{4 π}{3}

Der einzige gemeinsame Wert innerhalb von

[0; 2 π)

ist daher

φ = \frac{2 π}{3}

R

mck90 aktiv_icon

10:53 Uhr, 12.12.2015

Alles klar, vielen Dank an euch!!! Ihr habt mir sehr geholfen. Danke das ihr euch Zeit genommen habt :-)!

mfg

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