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Trigonometrische Funktion in Euler'sche Darstellun

Schüler Realschule,

Tags: euler, Trigonometrie

Giulia7 aktiv_icon

17:08 Uhr, 31.03.2015

Hey,

könnte ich

sin (2 x)

so umformen?

sin (2 x) =

1. Schritt:

sin (2 x) = e^{2 x} - cos (2 x)

2. Schritt:

sin (2 x) = e^{2 x} - ({cos}^{2} (x) - {sin}^{2} (x))

3. Schritt:

sin (2 x) = e^{2 x} - ((cos (x) + sin (x) \cdot (cos (x) - sin (x))

4. Schritt:

= e^{2 x} - (e^{x} \cdot e^{- x}) = e^{2 x} - 1

Beim 1. Schritt dachte ich an die Euler'sche Gleichung:

e^{x} = cos (x) + i \cdot sin (x)

Dann wäre

e^{2 x} = cos (2 x) + sin (2 x) - cos (2 x) = sin (2 x)

Beim 3. Schritt dann die 3. binomische Formel

Aber ich denke, dass ich das wahrscheinlich nicht so umformen darf, oder?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens

ledum aktiv_icon

18:51 Uhr, 31.03.2015

Hallo
Mich wundert, dass du auf der Realschule mit komplexen Funktionen rechnen willst. aber

sin (x)

hat nichts mit der reellen funktion

e^{x}

zu tun, deshalb ist alles was du schreibst leider falsch
Falls du doch mit komplexen Funktionen umgehen kannst dann

sin (2 x) = \frac{e^{i \cdot 2 x} - e^{- i \cdot 2 x}}{2 \cdot i}

wie du auf deinen ersten Schritt kommst verstehe ich gar nicht, auch wenn du einfach das

i

nur weggelassen hast.

sin (2 x) = sin (x + x) = sin (x) \cdot cos (x) + sin (x) \cdot cos (x) = 2 \cdot sin (x) \cdot cos (x)

ist die am häufigsten verwendete Formel für

sin (2 x)

Gruss ledum

Roman-22

18:55 Uhr, 31.03.2015

> 1

. Schritt:

> sin (2 x) = e^{2 x} - cos (2 x)

Falsch! Richtig wäre:

sin (2 x) = \frac{1}{i} \cdot (e^{i \cdot 2 x} - cos (2 x))

du hast da bei Anwendung der Eulerschen Formel die imaginäre Einheit vor der Sinus-Funktion verloren und hast bei der Formel auch einen Fehler. Es gilt nämlich

e^{i \cdot x} = cos (x) + i \cdot sin (x)

. Du hast das

i

im Exponenten unterschlagen.

Aber vielleicht teilst du uns überhaupt erst einmal mit, worin die Aufgabenstellung besteht! Was sollst du mit dem Ausdruck

sin (2 x)

denn anstellen?

Und übrigens - du schreibst da

>

Dann wäre

e^{2 x} = cos (2 x) + sin (2 x) - cos (2 x) = sin (2 x)

Du glaubst aber nicht wirklich allen Ernstes, dass die e-Funktion und die Sinus-Funktion genau das Gleiche sind, oder. Denn das würde diese Zeile bedeuten!

Gruß

R

Giulia7 aktiv_icon

19:28 Uhr, 31.03.2015

Hey, danke für eure Hilfe, das war echt sehr dumm von mir das

i

wegzulassen.

Ich habe im Internet eine Aufgabe gefunden, da soll man durch die euler'sche Darstellung zeigen, dass das Additonstheorem gilt:

sin (2 x) = 2 \cdot sin (x) \cdot cos (x)

Ah ja und auf die Frage, warum ich in der Realschule schon mit komplexen Zahlen rechnen will: Weil es mich irgendwie sehr interessiert und wir in Mathe in der 7. Klasse Realschule nicht sehr viel interessantes machen.

Danke für eure Hilfe, ich versuche die Aufgabe jetzt mit

i

:-)

Roman-22

20:09 Uhr, 31.03.2015

Na dann versuch dein Glück und melde dich wieder, wenn du auf Schwierigkeiten stößt.

Allerdings glaube ich nicht, dass es gut ist, das Additionstheorem für

sin (2 x)

zu zeigen, indem man, so wie du das versucht hast, das Additionstheorem für

cos (2 x)

verwendet.
Eher solltest du vielleicht die Eigenschaften der Exponentialfunktion stärker berücksichtigen.
Insbesondere könnte

e^{i \cdot 2 x} = e^{i \cdot x} \cdot e^{i \cdot x}

hilfreich sein.

Gruß

R

Giulia7 aktiv_icon

00:42 Uhr, 01.04.2015

Hey, ich habe jetzt ein bisschen weiter gemacht.

Im Anhang sind meine Notizen. Ich habe deinen Tipp genutzt ;-)

Glaubt ihr, dass ich das so machen kann?

ledum aktiv_icon

12:22 Uhr, 01.04.2015

Hallo
du sagst nicht genau, was dein Ziel ist.
ich denke mal die formel

sin (2 x) = 2 \cdot sin (x) \cdot cos (x)

das hast du zwischendrin wirklich gezeigt, man sieht es aber nicht deutlich.
richtig ist der Anfang
e^(2ix)=(cos(2x)+isin(2x(=(cos(x)+isin(x)^2
und daraus dann durch Betrachen des imaginätteils und des Realteils die Formel für

cos (2 x)

und für

sin (2 x)

deutlicher musst du machen, wo genau du das jetzt hast, statt einfach wieder am Ende den Anfang hinzuschreiben.
aber gut find ich wie du da ran gehst. jetzt versuch auf dieselbe Art die Formel für

(sin (x + y)

und die für

cos (x + x)

zu zeigen.
für dich schwieriger ist wohl eher warum die Gleichung e^(ix)=cos(x)+i*sin(x) richtig ist. (Aber auch viele Studenten verwenden das ohne zu wissen warum)

Roman-22

05:26 Uhr, 02.04.2015

> Glaubt ihr, dass ich das so machen kann?
Ja und nein.
Wie ledum schon sagte machst du nicht klar, wovon du ausgehts und was du zeigen möchtest bzw. gezeigt hast.

Wenn ich mir deine Umformung 2 so ansehe gewinnt man den Eindruck, dass du im vorletzten Schritt den Summensatz, den du eigentlich zeigen möchtest, *verwendest*.
Du solltest also dort die letzten beiden Schritte weg lassen.

Du hast doch im Wesentlichen

e^{i \cdot 2 x}

auf zwei Arten umgeformt. In (1) direkt mit Euler und in (2) erst die e-Potenz faktorisiert und dann Euler.
Bei (1) hast du

\dots = c o s (2 x) + i \cdot s i n (2 x)

erhalten und bei (2), wenn wir noch ausrechnen und zusammenfassen,

\dots ({c o s}^{2} x - {s i n}^{2} x) + i \cdot (2 * s i n x * c o s x)

Wenn du jetzt noch den Satz, den du unten hingeschrieben hast, anwendest, hast du sogar beide spezielle Additionstheoreme für doppelte Winkel gezeigt.

Vielleicht hast du es ohnedies so oder so ähnlich gemeint, aber es geht aus
deinen Ausführungen nicht so hervor.

Irgendwie sollte zum Schluss doch stolz in etwa stehen
"... und daher gilt

s i n (2 x) = 2 \cdot s i n x \cdot c o s x

!"

GrRuß R

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