Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Übungsaufgabe: Reihe auf Konvergenz prüfen

Übungsaufgabe: Reihe auf Konvergenz prüfen

Universität / Fachhochschule

Tags: Analysis

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
anonymous

anonymous

22:55 Uhr, 18.06.2004

Antworten
Guten Abend allerseits!

Ich hab da mal eine Frage an euch, weil ich einfach nicht weiter weiß.
Und zwar soll ich die folgende Reihe - (nachdem ich immer einen Errorausdruck bekommen hab, hab ich das Summenzeichen von 1 bis Unendlich weggelassen) auf Konvergenz prüfen.
Das n2 soll n^2 sein, aber dass hab ich auch nicht hingekriegt (ERROR :(). Jedenfalls hab ich es schon mit ausklammern von n etc. versucht, aber ich komm einfach immer nur auf den Wert 1. Wenn ich aber x-beliebige große Werte in die Reihe bzw. den Ausdruck da unten einsetze,(und Taschenrechner einsetze) komm ich auf 0. Kann mir jemand weiterhelfen??

Vielen Dank im Voraus!!
( n n + 1 ) ( n ⁢ 2 )
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
Dennis

Dennis

20:38 Uhr, 20.06.2004

Antworten
Hallo!

Gute Ideen hab ich auch eigentlich nicht. Deine Reihe konvergiert auf jeden Fall, und zwar gegen 0.817419 (numerisch berechnet).

Allerdings hab ich den Beweis selbst noch nicht geschafft. Könnte mir vorstellen, das Majorantenkriterium zu benutzen, suche aber noch eine passende majorante Reihe...



Eine bessere Idee ist wahrscheinlich das Quotientenkriterium: Der Quotient aus a(n+1)/a(n) ist (wie Einsetzen leicht zeigt) für alle n kleiner als 1. Dies ist laut Quotientenkriterium ein ausreichendes Kriterium für die Konvergenz. Vielleicht kann ja beweisen, dass a(n+1)/a(n)<1.



Viel Glück noch!
Antwort
Marian

Marian

15:51 Uhr, 21.06.2004

Antworten
Hallo!

Ich hätte zur Konvergenz deiner Reihe etwas zu sagen. Meine Idee findest du unten. Bevor ich aber mit der Lösung beginne, sieht die Reihe, nach der Beschreibung von oben, so aus:








∑ n ( n n + 1 ) n 2 . ⁢ Für die Konvergenz muss erfüllt werden, dass

lim a_n -> 0 (n -> +oo)

ist.

(a_n ist der Ausdruck in der Summe)

Dies ist erfüllt (den Grenzwert zu berechnen kommt mir komplizierter vor, deshalb findest du ihn hier nicht).

So haben wir die Chance, dass unsere Reihe konvergent sein kann. Das Kriterium, dass du benutzen willst ((a_n+1)/(a_n)), scheint mir zu kompliziert. Wir nehmen lieber Wurzelkriterium. So untersuchen wir folgendes Limes:
lim n → ∞ a n n = lim lim n → ∞ ( n n + 1 ) n 2 n = lim n → ∞ ( 1 - 1 n ) n = 1 e < 1. Hier folgt schon die Konvergenz der Reihe.

MfG
Marian
____________________________________________________________________________________
@Denis:

Aus dem Wurzelkriterium folgt noch jedoch nicht, dass
lim n → ∞ a n + 1 a n < 1 ist.




Das einzige, was hier folgt ist etwas schwächer, und zwar:
lim n → ∞ a n + 1 a n ≤ 1. Warum es so ist, ist klar! Also es reicht bei dir nur beweisen, dass dein Grenzwert nicht gleich 1 ist. MfG Marian
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.