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Umkehrfunktion zu einer Funktion bestimmen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Wie bildet man die Umkehrfunktion zu einer Funktion?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Man bestimmt die Umkehrfunktion

f^{- 1} (x)

einer Funktion

f (x)

mit

1) Vertauschen der Variablen $x$ und

y :

Man schreibt anstelle eines

x

ein

y

und anstelle eines

y

ein

x

.

2) Auflösen der Gleichung nach

y

Vorsicht: Wichtig ist an dieser Stelle immer der Definitionsbereich und die Wertemenge

der Funktion und Umkehrfunktion.

Es muss stets gelten :

D_{f^{- 1}} = W_{f}

W_{f^{- 1}} = D_{f}

Kontrolle:

Die Verkettung von Funktion und ihrer Umkehrfunktion muss gleich

x

sein

f (f^{- 1}) = x

Beispiel

f (x) = 2 x \Leftrightarrow y = 2 x

1) Vertauschen von $x$ und

y :

x = 2 y

2) Auflösen nach

y :

y = \frac{1}{2} x \Leftrightarrow f^{- 1} (x) = \frac{1}{2} x

D_{f^{- 1}} = ℝ = W_{f}

W_{f^{- 1}} = ℝ = D_{f}

Kontrolle:

f (f^{- 1} (x)) = 2 \cdot (\frac{1}{2} x) = x

(stimmt)

Beispiel

f (x) = x^{2} \Leftrightarrow y = x^{2}

1) Vertauschen von $x$ und

y :

x = y^{2}

2) Auflösen nach

y :

y = \pm \sqrt{x} \Leftrightarrow f_{1}^{- 1} (x) = \sqrt{x}

und

f_{2}^{- 1} (x) = - \sqrt{x}

Es gibt 2 Umkehrfunktionen zur quadratischen Funktion

x^{2}

.

Die Umkehrfunktion von

x^{2}

für

x \geq 0

(rechter Ast der Parabel) ist

\sqrt{x}

D_{f_{1}^{- 1}} = [0; \infty [= W_{f}

W_{f^{- 1}} = [0; \infty [= D_{f}

Die Umkehrfunktion von

x^{2}

für

x \leq 0

(linker Ast der Parabel) ist

- \sqrt{x}

D_{f_{2}^{- 1}} = [0; \infty [= W_{f}

W_{f^{- 1}} =] - \infty; 0] = D_{f}

Kontrolle:

f (f^{- 1} (x)) = 2 \cdot (\frac{1}{2} x) = x

(stimmt)

Beispiel

f (x) = e^{2 x} \Leftrightarrow y = e^{2 x}

1) Vertauschen von $x$ und

y :

x = e^{2 y}

2) Auflösen nach

y :

ln x = {ln e}^{2 y}

ln x = 2 y

y = \frac{1}{2} ln x \Leftrightarrow f^{- 1} (x) = \frac{1}{2} ln x

D_{f^{- 1}} =] 0; \infty [= W_{f}

W_{f^{- 1}} = ℝ = D_{f}

Kontrolle:

f (f^{- 1} (x)) = e^{2 \cdot \frac{1}{2} ln x} = e^{ln x} = x

(stimmt)

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