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Umwandlung periodischer Dezimalzahl in Bruch

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citystar aktiv_icon

12:51 Uhr, 24.10.2008

Hi Leute,

unser abgedrehter lehrer bringt immer irgendwelche beweise wie

z . B

. das man einen periodische dezimalzahl in einen bruch umwandeln kann, nur ich blick da leider net so ganz durch,

kann mir das ma bitte einer erklären? Vielen Vielen Dank für eure Mühe

PS: Ich hab die periode mit

''

gekennzeichnet, wusst nicht wies anders geht!? Also die zahl zwischen den

''

strichen ist die periode! danke

- 3,1' 142857' = - 3,1 + (0,0' 142857') x (- 1)

= \frac{- 31}{10} + \frac{0,0' 142857' x 10}{1 x 10} x (- 1)

= \frac{- 31}{10} + \frac{0,' 142857}{10} x (- 1)

= \frac{- 31 - 0,' 142857'}{10}

= - 3,1' 142857'

!!!Nebenrechnung an dieser Stelle; steht unten!!!

\Rightarrow \frac{- 31 - \frac{1}{7}}{10}

= \frac{\frac{- 31}{1} - \frac{1}{7}}{10}

= \frac{\frac{- 217 - 1}{7}}{\frac{10}{1}}

= \frac{- 218}{7} x \frac{1}{10}

= \frac{- 218}{70}

!!!NEBENRECHNUNG die an der Obigen stelle kam!!!

0,142857

als Bruch!
Es sei

y = 0,142857

1000000 y = 124857,' 142857'

1000000 y - y = 142857,' 142857' - 0,' 142857'

999999 y = 142857

x = \frac{142857}{999999} = 0,1428571248577 . .

= \frac{1}{7}

\Rightarrow \frac{1}{7} = \frac{1 x 142857}{7 x 142857} = \frac{142857}{99999}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Edddi aktiv_icon

13:28 Uhr, 24.10.2008

Perioden erhälst du immer bei Brüchen mit

9, 99, 999, ... .

Bsp:

\frac{1}{9} =

0,111...Periode 1

\frac{5}{9} =

0,555...Periode 5

\frac{1}{99} =

0,010101...Periode

01

\frac{67}{99} =

0,676767...Periode

67

\frac{12345}{99999} =

0,123451234512345...Periode

12345

citystar aktiv_icon

14:04 Uhr, 24.10.2008

ja das ist scho klar, aber ich will wissen wie diese rechnung die da steht funktioniert!

danke

Miraculix aktiv_icon

14:59 Uhr, 24.10.2008

Also deine Rechnung kann ich leider nicht nachvollziehen und finde ich auch ziemlich umständlich. Ich zeig dir mal, wie ich das rechnen würde, eigentlich ist das nämlich garnicht so schwer:

Also, gegeben ist die Zahl

- 3, 1 \bar{142857}

. Diese soll nun als Bruch dargestellt werden. Dazu benötigst du 2 Gleichungen:

1. Gleichung: Hier muss die Periode direkt nach dem Komma beginnen. In diesem Beispiel musst du dazu

\cdot 10

rechnen:

- 3, 1 \bar{142857} = x ∣ \cdot 10

- 31, \bar{142857} = 10 x

2. Gleichung: Hier muss die Periode einmal komplett vor dem Komma stehen. In diesem Beispiel musst du dazu

\cdot 1 0^{7}

rechnen:

- 3, 1 \bar{142857} = x ∣ \cdot 1 0^{7}

- 31142857, \bar{142857} = 1 0^{7} x

Jetzt subtrahierst du Gleichung 1 von Gleichung 2, der Effekt => Die gesamte Periode nach dem Komma fällt weg:

\Rightarrow - 31142857 - (- 31) = 1 0^{7} x - 10 x

\Rightarrow - 31142826 = (1 0^{7} - 10) \cdot x

\Rightarrow \frac{- 31142826}{1 0^{7} - 10} = x

\Rightarrow - \frac{31142826}{9999990} = x

Fertig ;-)

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