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Integration durch Substitution

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Integration

Tags: Integration

 
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tonilini

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03:26 Uhr, 06.07.2015

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Hallo,
ich habe folgendes Verständnisproblem.

(tan(x+5)cos2(x+5))dx

soll per Substitution gelöst werden.

Folgende 2 Lösungen habe ich ermittelt, aber mit abweichenden Funktionskurven.

Lösung 1:

u=tan(x+5)
dx=cos2(x+5)

(ucos2(x+5)cos2(x+5))
=(u)
=u22+C
=tan2(x+5)2+C

Probe:
y'=(tan2(x+5)2)'
y'=2tan(x+5)1cos2(x+5)12
y'=tan(x+5)cos2(x+5)


Lösung 2:

(tan(x+5)cos2(x+5))dx=(sin(x+5)cos3(x+5))dx

u=cos(x+5)
dx=-1sin(x+5)

-(sin(x+5)u3sin(x+5))
=-(u-3)
=-(-12u-2)+C
=12cos2(x+5)+C

Probe:

y'=(12cos2(x+5))'
y'=-(2cos(x+5)(-sin(x+5))2cos4(x+5))
y'=sin(x+5)cos3(x+5)

Nur wenn man jetzt beide Lösungen plottet sind sie unterschiedlich. Kann mir einer weiterhelfen und erklären wo mein Rechenfehler liegt oder weshalb aus derselben Funktion 2 unterschiedliche Stammfunktionen resultieren??
Anbei ein Foto der geplotteten Kurven.

Rot: Zu integrierende Funktion
Orange: Lösung 1
Lila: Lösung 2


funktionen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
pleindespoir

pleindespoir aktiv_icon

04:43 Uhr, 06.07.2015

Antworten
Bilde mal nur so zum Spass die Differenz zwischen Deinen beiden Lösungen!
tonilini

tonilini aktiv_icon

11:17 Uhr, 06.07.2015

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F(x)1=tan2(x+5)2
Umschreiben:
F(x)1=sin2(x+5)2cos2(x+5)
F(x)1'=2sin(x+5)cos(x+5)cos2(x+5)-2cos(x+5)(-sin(x+5))sin2(x+5)2(cos2(x+5))2
f(x)1=2sin(x+5)cos(x+5)(sin2(x+5)+cos2(x+5))2cos4(x+5)

Trigonometrischer Pythagoras:
sin2(x+5)+cos2(x+5))=1

f(x)1=sin(x+5)cos3(x+5)=tan(x+5)cos2(x+5)




F(x)2=12cos2(x+5)
F(x)'2=-2-sin(x+5)cos(x+5)2(cos2(x+5))4
f(x)2=sin(x+5)cos3(x+5)=tan(x+5)cos2(x+5)

f(x)1=f(x)2

Ich verstehe das absolut nicht, wäre dankbar wenn mir einer auf die Sprünge helfen kann.
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pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

12:52 Uhr, 06.07.2015

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Hallo,

Pleindespoir wollte nur, dass Du ausrechnest:

tan2(x)-1cos2(x)

und Dich dann fragst, was Du eigentlich mit den C'2 in Deinen Lösungen sagen willst.

Gruß pwm
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funke_61

funke_61 aktiv_icon

13:00 Uhr, 06.07.2015

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Oder:
nimm doch mal den Dir bekannten "Tigonometrischen Pythagoras":
sin2x+cos2x=  1
Teile diese Gleichung durch cos2x
tan2x+  1  =1cos2x
Jetzt teile diese Gleichung noch durch 2
tan2x2+  12  =12cos2x
was fällt Dir nun auf ?
tonilini

tonilini aktiv_icon

13:08 Uhr, 06.07.2015

Antworten
sin2x-1cos2x=-(1-sin2x)cos2x=-cos2xcos2x=-1
Antwort
pleindespoir

pleindespoir aktiv_icon

13:10 Uhr, 06.07.2015

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Daraus folgt ... ?
tonilini

tonilini aktiv_icon

13:16 Uhr, 06.07.2015

Antworten
Ach das bedeutet das ist die gleiche Kurve halt nur um -12 verschoben?!
Antwort
pleindespoir

pleindespoir aktiv_icon

13:31 Uhr, 06.07.2015

Antworten
Genau das ist die Erkenntnis!

Und eine Stammfunktion kann nun mal dank der Integrationskonstante in der y-Achse rumhängen, wie sie lustig ist.
Frage beantwortet
tonilini

tonilini aktiv_icon

13:32 Uhr, 06.07.2015

Antworten
Alles klar, wenn man drüber nachdenkt leuchtet es ein^^

tan2x+52+12=12cos2(x+5)
tan2x+52=12cos2(x+5)+12

Vielen dank an alle!