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Ungleichung lösen

Schüler Universitäre Hochschule, 12. Klassenstufe

Tags: Ungleichung

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13:13 Uhr, 24.04.2014

Hallo Leute,
ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Ich würde mich über eure Hilfe freuen.

\frac{x^{2} + x - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \geq 0

Also ich weiß, dass

{(x^{2} - 1)}^{3}

ungleich Null sein muss,

d . h

Fallunterscheidung

{(x^{2} - 1)}^{3} > 0

und

{(x^{2} - 1)}^{3} < 0

Soweit korrekt?

danke im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Edddi aktiv_icon

13:25 Uhr, 24.04.2014

. .

. ja

;-)

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13:36 Uhr, 24.04.2014

Alles klar,
ich habe sowas raus.

{(x^{2} - 1)}^{3} > 0 \land x^{2} + x - 2 \geq 0

{(x^{2} - 1)}^{3} < 0 \land x^{2} + x - 2 \leq 0

x^{6} - 3 x^{4} + 3 x^{2} - 1 > 0 \land x^{2} + x - 2 \geq 0

x^{6} - 3 x^{4} + 3 x^{2} - 1 < 0 \land x^{2} + x - 2 \leq 0

Nullstellen von

x^{6} - 3 x^{4} + 3 x^{2} - 1

berechnen?

Auch richtig?

Danke

Edddi aktiv_icon

14:37 Uhr, 24.04.2014

wir haben einmal

x^{2} - 1 > 0 \Rightarrow x < - 1 \land 1 < x

und wir haben

x^{2} - 1 < 0 \Rightarrow - 1 < x < 1

Für den 1. Fall wird dann:

\frac{x^{2} + x - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \geq 0

x^{2} + x - 2 \geq 0

x^{2} + x \geq 2

{(x + \frac{1}{2})}^{2} \geq \frac{9}{4}

| x + \frac{1}{2} | \geq \frac{3}{2}

x \leq - 2 \land 1 \leq x

Dann noch Schnittmenge mit Def.-bereich:

x \leq - 2 \land 1 < x

Für den 2. Fall wird dann:

\frac{x^{2} + x - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \geq 0

x^{2} + x - 2 \leq 0

x^{2} + x \leq 2

{(x + \frac{1}{2})}^{2} \leq \frac{9}{4}

| x + \frac{1}{2} | \leq \frac{3}{2}

- 2 \leq x \leq 1

Dann noch Schnittmenge mit Def.-bereich:

- 1 < x < 1

Somit gesamt:

x \leq - 2 \land - 1 < x < 1 \land 1 < x

;-)

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14:45 Uhr, 24.04.2014

Eine Frage.

x^{2} - 1 > 0 \Rightarrow x > 1 \land x > - 1

oder?

Warum hast du

x > 1 \land x < - 1

Edddi aktiv_icon

14:58 Uhr, 24.04.2014

x^{2} - 1

ist eine nach

- 1

verschobene Normalparabel!

Aber ich hab noch einen totalen fehler drin! Der Nenner verschwindet ja nach der Multiplikation.

Ich ändere es gleich!

;-)

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15:06 Uhr, 24.04.2014

hmm ich verstehe leider immer noch nicht.

x^{2} - 1 > 0 \Rightarrow x^{2} > 1 \Rightarrow x > \sqrt{1} \Rightarrow x > 1 \land x > - 1

Aber warum

x < - 1,

da verstehe ich leider noch nicht.

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15:12 Uhr, 24.04.2014

Bei den Ungleichungen ändert sich das Relationszeichen nur bei der Multiplikation bzw. Devision oder?

Edddi aktiv_icon

15:19 Uhr, 24.04.2014

. .

. jau, bei Mult. und Division ändert sich die Relation.

Zu

x^{2} - 1 > 0 :

x^{2} > 1

(Wurzeln ist wie Quadrieren keine Äq.-Umformung!)

| x | > 1

für

x > 0

ist

| x | > 1 \Leftrightarrow x > 1

für

x < 0

ist

| x | > 1 \Leftrightarrow - x > 1 \Rightarrow x < - 1

(Änderung der Relation wg. Multiplikation mit

- 1)

;-)

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15:22 Uhr, 24.04.2014

Ich meine, beim Wurzel ziehen einer Ungleichung muss man mit Betragsstrichen und und ne Fallunterscheidung wie du mir schon gezeigt hast arbeiten, richtig?

Stephan4

15:40 Uhr, 24.04.2014

Kleiner Zwischenruf:
Das Ergebnis Deiner Aufgabe steht da:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+%28x2%2Bx-2%29%2F%28x2-1%29^3%3E0

Grafisch sieht die linke Seite Deiner Ungleichung so aus:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29%3D%28x2%2Bx-2%29%2F%28x2-1%29^3+from+x%3D-2+to+2

Und der Ausschnitt bei

- 2

wäre noch interessant:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29%3D%28x2%2Bx-2%29%2F%28x2-1%29^3+from+x%3D-3+to+-1.7

Doch wie man es rechnet, das sagt Dir Eddi. LOL

Danke für die Aufmerksamkeit.

Edddi aktiv_icon

15:40 Uhr, 24.04.2014

...jau, siehe Beitrag von

14 : 37

(ist editiert)

;-)

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15:46 Uhr, 24.04.2014

Alles klar,
ich werde mich heute abend die aufgabe auseinandersetzen.
bis jetzt danke für eure antwort

rundblick aktiv_icon

15:50 Uhr, 24.04.2014

\frac{x^{2} + x - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \geq 0

hm.. hier noch ein kleiner Tipp:

für alle

x \neq 1

kannst du den Term zuerst noch etwas vereinfachen:

\frac{x + 2}{{(x - 1)}^{2} \cdot {(x + 1)}^{3}} \geq 0

und in dieser Form siehst du doch sofort, dass der Term

\to \frac{x + 2}{{(x - 1)}^{2} \cdot {(x + 1)}^{3}}

- >

NUR für

- 2 < x < - 1

NEGATIV sein kann

und deshalb weisst du sofort, welches nun also
die Lösungsmenge deiner Ungleichung sein wird ..

PS
nachher kommt gleich Apostel Paulus und verkündet obige Botschaft nochmal als neu :
"Besser wäre es, zuerst eine Faktorzerlegung zu machen:"
Allerdings kann er dann die Aufgabe gleich auch noch selbst lösen..

Paulus

15:57 Uhr, 24.04.2014

Hallo

sorry, wenn ich mich einmische, denn das ist alles viel zu kompliziert.

Besser wäre es, zuerst eine Faktorzerlegung zu machen:

x^{2} + x - 2 = (x - 1) (x + 2)

x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)

Damit lautet die Aufgabe

\frac{(x - 1) (x + 2)}{(x - 1)^{3} (x + 1)^{3}} \geq 0

x

darf also werder

+ 1

noch

- 1

sein.

Dies Vorausgesetzt, kann gekürzt werden, uund man hat:

\frac{x + 2}{(x - 1)^{2} (x + 1)^{3}} \geq 0

Weil eine Quadratzahl immer positiv ist (oder null, in unserem Fall aber nicht), darf man die Ungleichung mit

(x - 1)^{2}

multipliziren, ohne dass sich das Vergleichszeichen ändert:

\frac{x + 2}{(x + 1)^{3}} \geq 0

Mit der gleichen Überlegung wie oben kann ich auch noch mit

(x + 1)^{2}

multiplizieren, ohne dass sich das Vergleichszeichen ändert:

\frac{x + 2}{x + 1} \geq 0

Nun mit

(x + 1)

multiplizieren, aber nun bitte mit Fallunterscheidung:

Fall I):

x + 1 > 0

, d.h.

x > - 1

ergibt

x + 2 \geq 0

, d.h

x > - 1

Insgesamt für Fall I:

x > - 1

Fall II)

x + 1 < 0

, d.h.

x < - 1

ergibt

x + 2 \leq 0

, d.h

x \leq - 2

Insgesamt für Fall I:

x \leq - 2

Alles klar?

Gruss

Paul

Bummerang

17:21 Uhr, 24.04.2014

Hallo,

hier im Post werden mehrmals Junktoren

(\land

und

\lor)

verwendet. Das erste mal von Usavich um

13 : 36

Uhr korrekt und anschließend von Edddi um

14 : 37

Uhr falsch und anschließend um

14 : 45

Uhr und

15 : 06

Uhr von Usavich wieder falsch! Die Junktoren bedeuten nach allgemeiner Festlegung:

\land :=

logisches UND

\lor :=

logisches ODER

Ein Term der Art "x

< - 1 \land 1 <

x", wie er hier öfters vorkommt sagt, dass

x

kleiner

- 1

UND größer 1 sein muss. Welches

x

kann das schon erfüllen. Wenn man sich ansieht, was die beiden an den entsprechenden Stellen treiben, dann stellt man fest, dass nur "x

< - 1 \lor 1 <

x" gemeint sein kann. Am interessantesten aber ist, dass Usavich nach seinem korrekten Gebrauch der Junktoren sowohl nicht gemerkt hat, dass Edddi sie falsch anwendet, als auch ab diesem Zeitpunkt diese Junktoren falsch verwendet hat. Muss eine Art ansteckender Virus sein...

Edddi aktiv_icon

21:08 Uhr, 24.04.2014

. .

. ich entschuldige mich in aller Form dafür den Operator als "und" verwendet zu haben, der ja dann eine Schnittmenge erzeugt.

. .

. das hab ich so aus dem Sprachgebrauch übernommen.

Die Lösung von

x^{2} = 4

ist also nicht 2 und

- 2

sondern 2 oder

- 2

. Aber man sprichts halt so.

(logisch) Richtiger wäre wohl dann der

\lor -

Operator.

:-)

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01:09 Uhr, 25.04.2014

@edddi
Wie berechnest du die Schnittmenge mit der Definitions-Bereich? (Für beide Fälle)
das verstehe ich leider noch nicht so ganz.

Ansonsten habe ich alles verstanden, bis auf die Schnittmenge der beiden Fälle.

danke im voraus

Edddi aktiv_icon

06:10 Uhr, 25.04.2014

. .

. angenommen, du gehst bei einer Fallunterscheidung aus von

x \geq 0

Dann rechnest du und erhälst das Ergebnis

0 < x < 3

.

Ausgegangen bist du von alle

x

die größer gleich 0 sind. Als Ergebnis erhhälst du Lösungen zwischen 0 und 3. Also besteht die Lösungsmennge aus allen Elementen, die sowohl in deiner Voraussetzung als auch in deinem Ergebnis vorkommen.

Ist also

L_{1} = {x | x \geq 0}

und

L_{2} = {x | 0 < x < 3}

so ist

L_{1} ⋂ L_{2} = S_{1}

mit

S_{1} = {x | 0 < x < 3}

Hättest du als Ergebnis

x < 6

erhalten, was ja im Widerspruch zu der Ausgangsbedingung

x > 0

steht, so wäre die Schnittmenge eben leer.

So, und hast du dann die Schnittmengen

S_{1}

und

S_{2}

so bildest du dann noch die gesamte Lösungsmenge durch die Vereinigung beider Mengen, also für alle Elemente die entweder in

S_{1}

oder in

S_{2}

enthalten sind.

:-)

Bummerang

07:55 Uhr, 25.04.2014

Hallo Edddi,

ich habe mit keinem Wort die fälschliche Verwendung der Worte "und" bzw. "oder" moniert, sondern den falschen Gebrauch der Junktoren "

\land

" und "

\lor

", und die sind mathematisch in ihrer Bedeutung festgelegt. Und wenn man

x^{2} - 1 > 0 \Rightarrow x < - 1 \land 1 < x

im allgemein üblichen Sprachgebrauch sprechen würde, dann sicher nicht: "Aus x-Quadrat minus eins ist größer als Null folgt, dass

x

kleiner

- 1

und 1 kleiner

x

sein muss." Da würde man, wie in der Mathematik, auch statt dem "und" ein "oder" sprechen.

Statt also einfach zu sagen: "Sorry, da habe ich mich mal vertan." Oder vielleicht noch ein "Ich korrigiere das mal schnell." hinterher, erfindest Du ein Beispiel, das im allgemeinen Spürachgebrauch tatsächlich anders gehabt wird. Allerdings, entnehme ich Deinem "Die Lösung von

x^{2} = 4

ist also nicht 2 und

- 2

sondern 2 oder -2.", dass Du im allgemeinen Sprachgebrauch sagen würdest:

"Die Lösung von

x^{2} = 4

ist 2 und -2."

bzw. in Deiner korrigierten Form:

"Die Lösung von

x^{2} = 4

ist 2 oder -2."

Da muss ich Dir leider sagen, dass beide Sätze grammatikalisch bzw. inhaltlich falsch sind! Die korrekten Sätze darfst Du Dir gerne selber erarbeiten!

Fazit: Die Junktoren wurden in den angegebenen Posts falsch verwendet, sind immer noch falsch dort zu finden und Edddi wird wohl wieder lieber eine unpassende Antwort finden, als das zu korrigieren! Vor ungeprüftem Abschreiben des Lösungsweges sei also gewarnt!

Usavich aktiv_icon

12:41 Uhr, 25.04.2014

Hi Edddi,
Zu der Aufgabe haben wir die Definitionsbereich von

x > 1 \lor x < - 1

mit dem Ergebnis

x \leq - 2 \lor x \geq 1

und Defi-Bereich

x < 1 \lor x > - 1

mit dem Ergebnis von

x \leq 1 \lor x \geq - 2

Wenn ich das als Intervall schreibe, sieht dann so aus.

Zu 1.Definitionsbereich:

x > 1 \Rightarrow (1, \infty)

x < - 1 \Rightarrow (- \infty, - 1)

Lösung:

x \geq 1 \Rightarrow [1, \infty)

x \leq - 2 \Rightarrow (- \infty, - 2]

Wir sehen dass

x > 1

und

x \geq 1

sowohl in der Voraussetzung als auch in dem Ergebnis vorkommen.

Dann lautet die Lösungsmenge für der erste Fallunterscheidung nur

[1, \infty)

oder? Weil sowohl

x < - 1

als auch

x \leq - 2

keine Schnittmenge sind.

Usavich aktiv_icon

12:42 Uhr, 25.04.2014

@Paulus

Danke schön für deine Erklärung.

Usavich aktiv_icon

13:10 Uhr, 25.04.2014

@Edddi
Zu deiner Kommentar um

06 : 10

Uhr

Muss die Lösung nicht etwa

0 \leq x < 3

heißen? Weil

x \geq 0

ein geschlossenes Intervall ist?

Und warum ist

x < 6

Widerspruch zu

x > 0

? Wenn man das in eine Zahlengerade malt, dann erkennt man, dass sie auch eine Schnittmenge ist? Die Lösung wäre heißen:

6 < x < 0

?

Danke im Voraus

Edddi aktiv_icon

13:25 Uhr, 25.04.2014

x = 0

ist gemäß Lösung nicht enthalten, kann also nicht in der Schnittmenge mit

x \geq 0

enthalten sein.

Das mit der

6,

da hab ich ein Minus vergessen. Wollte ein extremes Beispiel wählen. Es sollte also

x < - 6

heißen. Dies widerspricht dann der Vorauss.

x > 0

und somit leere L.-Menge.

Und die Schnittmenge von

x \geq 0

und

x < 6

wäre

0 \leq x < 6

.

Die Schreibweise

6 < x < 0

ist falsch!

Für die eigentliche Aufgabe hab ich mal die grafische Lösung im Anhang.

rundblick aktiv_icon

14:31 Uhr, 25.04.2014

\frac{x^{2} + x - 2}{{(x^{2} - 1)}^{3}} \geq 0

sowas von mühsam: Usavich , oben hast du dich grossartig bei Paulus bedankt
aber offenbar überhaupt nicht mitbekommen, was er dir erklärt:

\to

für die Lösungsmenge deiner obigen Ungleichung gilt:

\to x \leq - 2

...ODER...

\to x > - 1

fertig

Edddi aktiv_icon

14:40 Uhr, 25.04.2014

. .

. nicht ganz korrekt, denn

x = 1

ist nicht erlaubt und ist aus der Lösungmenge raus zu nehmen.

;-)

Usavich aktiv_icon

22:00 Uhr, 25.04.2014

@Edddi
Danke für die Zeichnung. Sie hat mir extrem geholfen. Nun kommt die Frage, was Bummerang schon gesagt hat. Welche Operationen werden bei der Lösungsmenge verwerdet? Und-Operation oder Oder-Operation? Ich habe als Ergebnis folgendes raus:

(- \infty, - 2] \cup (- 1,1) \cup (1, \infty)

auch richtig?

Danke

Edddi aktiv_icon

14:38 Uhr, 26.04.2014

Ein Intervall ist ja eine zusammenhängende Teilmenge. So ist dein erstes Intervall definiert als:

(- \infty, - 2] = {x \in R | - \infty < x \leq - 2}

Dem zu Folge verwndest du richtig zur Mengenvereinigung das

⋃ -

Symbol um deine Lösungsteilmengen zu vereingen.

Das "logische ODER" als

\lor

ist hier nicht angebracht, da dies zur booleschen Verknüpfung von Aussagen dient.

:-)

Usavich aktiv_icon

17:06 Uhr, 28.04.2014

@Edddi und @Alle, die mir holfen haben,
ich bedanke mich für eure Hilfe und Unterstützung.
Ohne euch könnte ich mir gar nicht vorstellen, wie ich diese Aufgabe lösen würde.

Also ich danke euch

:-)

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