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Unterkörper U von K

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Vektorraum

Jason42 aktiv_icon

22:45 Uhr, 20.04.2015

Hallo, es geht um folgende Aufgabenstellung:

Es sei ein Körper

K

gegeben. Ein Unterkörper von

K

ist ein Körper

U

derart, dass die unterliegende Menge von

U

eine Teilmenge von

K

ist, und so, dass für

u, u' \in U

stets:

u +^{U} u' = u +^{K} u'

u \cdot^{U} u' = u \cdot^{K} u'

gilt.
Nun sei ein Unterkörper

U

von

K

gegeben.

Wie bestimme ich jetzt eine Basis von

F_{8}

als

F_{2}

-Vektorraum?

Danke.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

DrBoogie aktiv_icon

09:52 Uhr, 21.04.2015

Wie sieht denn

F_{8}

bei Euch aus?
Als

Z_{2} [X] / (X^{3} + X + 1)

oder habt Ihr eine andere Darstellung?

Jason42 aktiv_icon

20:18 Uhr, 21.04.2015

Nach Skript ist

F_{8} = {a + b \cdot β + c \cdot β^{2} | a, b, c \in F_{2}}, β^{3} = 1 + β

DrBoogie aktiv_icon

21:12 Uhr, 21.04.2015

Dann hast Du eine fertige Basis schon in der Definition:

(1, β, β^{2}) .

Jason42 aktiv_icon

23:01 Uhr, 22.04.2015

Danke! Eine Frage noch..

F_{4}

ist definiert als

{a + b \cdot α | a, b \in F_{2}}, α^{2} = 1 + α

. Wie bestimme ich nun alle

F_{2}

-Untervektorräume von

F_{4}

DrBoogie aktiv_icon

06:31 Uhr, 23.04.2015

F_{4}

ist zweidimensional als

F_{2}

-Vektorraum, daher sind alle Untervektorräume eindimensional, außer den trivialen Untervektorräumen

{0}

und

F_{4}

selber. Ein eindimensionaler Untervektorraum über

F_{2}

besteht aber immer nur aus zwei Elementen:

0

und

a \neq 0

. Denn

λ a

0

oder

a

für alle

λ \in F_{2}

(es gibt nur zwei mögliche Werte von

λ

).

Da

F_{4}

aus nur

4

Elementen

0

α

1

1 + α

besteht, sind alle eindimensionalen Untervektorräume:

{0, 1}

{0, α}

{0, 1 + α}

.

Also insgesamt

5

Untervektorräume:

{0, 1}

{0, α}

{0, 1 + α}

{0}

F_{4}

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