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Unterschied stetig u. komponentenweise stetig

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Stetigkeit

voltilena aktiv_icon

20:12 Uhr, 24.07.2014

Guten Abend,

frage das erste Mal etwas hier.

Heute war die letzte Vorlesung vor der Klausur Differenzial- und Integralrechnung 2.
Der Prof meinte am Ende wir sollten unbedingt den Unterschied zwischen Stetigkeit und komponentenweiser Stetigkeit kennen.

Kann mir dazu jemand etwas sagen?

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

pwmeyer aktiv_icon

11:52 Uhr, 25.07.2014

Hallo,

die Bemerkung kommt mir etwas merkwürdig vor, denn es gilt:

f = (f_{1}, ..., f_{n})

ist stetig in einem Punkt

a,

genau dann wenn jede Komponentenfunktion im PUnkt a stetig ist.

Eher könnte ich mir vorstellen:

x \to f (x, b)

stetig für

x_{0} = a

und

y \to f (a, y)

stetig für

y = b

ist etwas anderes als

(x, y) \to f (x, y)

ist stetig im Punkt

(x_{0}, y_{0}) = (a, b)

Typisches Beispiel:

f (x, y) = \frac{x \cdot y}{x^{2} + y^{2}}

im Nullpunkt mit

f (0,0) := 0

.

Gruß pwm

voltilena aktiv_icon

19:09 Uhr, 25.07.2014

Verstehe ich jetzt noch nicht ganz.

Wenn ich das Beispiel in Polarkoordinaten umwandele dann bekomme ich cos(\phi)* sin(\phi) heraus. Da wäre das ja im Nullpunkt stetig.

Wenn ich aber mit Folgen rechne, also mit x_n und y_n arbeite und \lim_{n \to
\infty}\left(x_n)=0 mit x_n gleich y_n arbeite, kommt unstetig im Nullpunkt heraus.

Denke ich so falsch oder versteh ich oben dein Kommentar total falsch?

pwmeyer aktiv_icon

13:59 Uhr, 26.07.2014

Hallo,

ich habe versucht zu erraten, was Dein Prof gemeint haben könnte.

Ich dachte eben and das klassische Beispiel (s.oben) mit

f (x_{n},0) = 0

f (0, y_{n}) = 0

f (\frac{1}{n} \frac{,1}{n}) \to \frac{1}{2} \neq

"Wenn ich das Beispiel in Polarkoordinaten umwandele dann bekomme ich

cos (φ) \cdot sin (φ)

heraus. Da wäre das ja im Nullpunkt stetig." Der letzte Satz hat hier keine Bedeutung oder Relevanz, die Funktion

f

ist im Nullpunkt unstetig. Wenn

(x_{n}, y_{n}) \to 0,

kann nichts über das Verhalten der zugehörigen

φ_{n}

ausgesagt werden.

Gruß pwm

voltilena aktiv_icon

16:30 Uhr, 26.07.2014

Okay, das verstehe ich, aber was heißt das denn nun für die Funktion, wenn f(1/n,1/n)gegen 1/2 geht?

pwmeyer aktiv_icon

18:20 Uhr, 26.07.2014

Hallo,

Stetigkeit im Nullpunkt (andere PUnkte analog) bedeutet:

Für alle Folgen

(x_{n}, y_{n})

gilt:

x_{n} \to 0

und

y_{n} \to 0 \Rightarrow f (x_{n}, y_{n}) \to f (0,0)

In dem obigen Beispiel ist

f (0,0) = 0,

aber

\frac{1}{n} \to 0

und

f (\frac{1}{n} \frac{,1}{n})

konvergiert nicht gegen 0. Also ist dieses

f

im Nullpunkt nicht stetig.

Gruß pwm

voltilena aktiv_icon

19:21 Uhr, 26.07.2014

Okay, jetzt verstehe ich=) Danke!

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