Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Untersuche diese Abbildung auf Injek. und Surjek.!

Untersuche diese Abbildung auf Injek. und Surjek.!

Universität / Fachhochschule

Tags: Injektivität, surjektivität

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
sp1994

sp1994 aktiv_icon

14:27 Uhr, 23.10.2016

Antworten
Man untersuche diese Abbildung auf Injektivität und Surjektivität.

f: ℝ\{1} ℝ, f(x)=1x-1

Bitte um Antworten.

Lg Sony

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

14:39 Uhr, 23.10.2016

Antworten
Hallo,
zur Injektivität:
zeige f(x1)=f(x2)x1=x2.
Wenn das gilt, ist Deine Funktion injektiv.
Zur Surjektivität:
Gibt es denn zu jedem y ein x\{1} mit f(x)=y?
Das kannst Du doch alles mal durchdenken ...
sp1994

sp1994 aktiv_icon

14:46 Uhr, 23.10.2016

Antworten
Hallo,

danke für die schnelle antwort.

ich hab es gerade für die surjektivität ausprobiert und da kommt mir zum schluss kein y=y heraus.


image1
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

15:14 Uhr, 23.10.2016

Antworten
Du hast zum Schluss nicht f(x)=y überprüft, sondern stattdessen x=y,
und das kann ja nicht funktionieren!
Aber hast Du nicht ein grundsätzliches Problem bei y=0?
sp1994

sp1994 aktiv_icon

15:18 Uhr, 23.10.2016

Antworten
voll, stimmt danke. das habe ich übersehen

jetzt kommt y=y raus

aber was meinst du mit y=0?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

15:20 Uhr, 23.10.2016

Antworten
Versuche doch mal, ein x zu finden, so dass f(x)=0 ist.
sp1994

sp1994 aktiv_icon

15:32 Uhr, 23.10.2016

Antworten
aso ich darf ja keine 1 nehmen, da die Menge R\{1} angegeben ist und auch wenn, dann wäre es eine Divison durch 0


Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

15:39 Uhr, 23.10.2016

Antworten
Wir schauen also, ob es zu 0 ein Urbild gibt, also
ein x, das auf 0 abgebildet wird:
1x-1=0.
Das ist nicht lösbar, da ein Bruch nur 0 ist, wenn sein Zähler 0 ist.
Der ist aber 1.
Also hat nicht jedes y ein Urbild bzgl f, d.h. f
ist nicht surjektiv. Um die Nicht-Surjektivität zu zeigen, reicht das
Gegenbeispiel y=0. Man muss gar nichts umformen ...

Nun bist Du mit der Injektivität dran!
sp1994

sp1994 aktiv_icon

15:48 Uhr, 23.10.2016

Antworten
Meinst mit y=0 einsetzen um die Nicht-Surjektivität zu zeigen bei:

y=1(1y)+1-1

also wenn ich für f(x) das x einsetze welches ich vorher berechnet hab
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

15:54 Uhr, 23.10.2016

Antworten
Nein, ich meine es viel einfacher, als Du gerade denkst.
Eine Funktion f:\{1} ist surjektiv, wenn zu jedem y ein x\{1} gibt mit f(x)=y.
Für y=0 gibt es aber ein solches x offenbar nicht.
Ich rede nicht von einem auf irgendeine Weise vorher berechnten y. Ich betrachte
jedes y in und suche nach einem passenden Urbild x, und stelle fest, dass es zu
y=0 kein solches x geben kann. Also ist f nicht surjektiv.

Vielleicht nochmal mein Post von 15:35 angesprochen:
1x-1 kann nicht 0 werden, egal, was x ist, also
gibt es kein x mit f(x)=1x-1=y=0 für y=0.
Also hat y=0 kein Urbild.

sp1994

sp1994 aktiv_icon

16:11 Uhr, 23.10.2016

Antworten
das heißt y müsste gleich f(x) sein damit es surjektiv ist

aber wieso nehmen wir da gerade die 0?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

16:14 Uhr, 23.10.2016

Antworten
Weil dieses y gerade das Gegenbeispiel gegen die Surjektivität ist;
denn bei allen anderen y konntest Du doch zeigen, dass diese ein
Urbild haben. Das einzige böswillige y ist nun mal y=0.
sp1994

sp1994 aktiv_icon

16:16 Uhr, 23.10.2016

Antworten
verstehe...

ich weiß nicht wie ich beginnen soll um zu überprüfen ob f(x) injektiv ist

injektivtät: f(x)=f(y)x=y
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

16:17 Uhr, 23.10.2016

Antworten
Schreibe doch mal hin, was es bedeutet, wenn f(x1)=f(x2) ist, so wie
am Anfang von mir vorgeschlagen. Vielleicht gelingt es Dir, aus der dabei
entstehenden Gleichung auf x1=x2 zu schließen?
sp1994

sp1994 aktiv_icon

16:20 Uhr, 23.10.2016

Antworten
Was mich da etwas verwirrt, ist f(x1) und f(x2). Was soll ich für f(x1) und f(x2) einsetzen?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

16:22 Uhr, 23.10.2016

Antworten
f(xi)=1xi-1.
sp1994

sp1994 aktiv_icon

16:24 Uhr, 23.10.2016

Antworten
ja voll, da kommt x1=x2 heraus, das heißt f ist injektiv oder?

sp1994

sp1994 aktiv_icon

16:24 Uhr, 23.10.2016

Antworten
ja voll, da kommt x1=x2 heraus, das heißt f ist injektiv oder?

Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

16:25 Uhr, 23.10.2016

Antworten
Jawoll!
sp1994

sp1994 aktiv_icon

16:33 Uhr, 23.10.2016

Antworten
Vielen, vielen Dank! Du hast mir echt geholfen.

Kannst du mir da vielleicht noch helfen.

Gezeigt hab ich das schon, ich hänge nur gerade an der Gleichheit.

Seien A1,A2 Teilmengen der Definitionsmenge von f.
Man zeige
f(A1 Schnittmenge A2) Teilmenge f(A1) Schnittmenge f(A2)

und konstruiere ein Beispiel, bei dem nicht die Gleichheit gilt.

Selbes Problem bei diesem Bsp. f(A1) \ f(A2) Teilmenge f(A1 \ A2)
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

16:40 Uhr, 23.10.2016

Antworten
Ich bemühe mich ;-)

Sei A1={1,2},A2={1,3}, f sei definiert durch f:{1,2,3} mit f(1)=1,f(2)=2,f(3)=2.

Ob Du nun eine Idee für die Aufgabe mit dem "\" hast?
sp1994

sp1994 aktiv_icon

16:44 Uhr, 23.10.2016

Antworten
Wieso ist f(3)=2?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

16:47 Uhr, 23.10.2016

Antworten
Na ja, ich soll doch prüfen, ob es eine Funktion f gibt,
bei der keine Gleichheit herrscht. f kann ich doch selbst wählen,
damit genau dieser Effekt passiert.
sp1994

sp1994 aktiv_icon

16:52 Uhr, 23.10.2016

Antworten
asoo ok

Das ist die Lösung zu den Bsp., aber ich verstehe die nicht so ganz.

Die Funktion f:{0,1}a mit xa und die Teilmengen A1={0},A2={1} zeigen, dass Gleichheit in 2. und 4. im allgemeinen nicht gilt.
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

17:02 Uhr, 23.10.2016

Antworten
a sei z.B. irgendeine feste Zahl, z.B. 4711.
Dann ist f(A1A2)=f()=, aber
f(A1)f(A2)={a}{a}={a}.
Und offenbar {a}.

f(A1)\f(A2)={a}\{a}= und
f(A1\A2)=f(A1)={a}.
Und offenbar {a}.

Gruß ermanus

sp1994

sp1994 aktiv_icon

17:11 Uhr, 23.10.2016

Antworten
Aso, da setze ich für A1=0 und A2=1 und die f(1 Schnittmenge 0) ist die leere Menge

f(A1) Schnittmenge f(A2): da setze ich für A1 und A2a ein und da kommt a heraus

Selbes gilt für das zweite Bsp.

habe ich das richtig verstanden?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

17:18 Uhr, 23.10.2016

Antworten
Nochmal jawoll!
Gruß ermanus
sp1994

sp1994 aktiv_icon

17:19 Uhr, 23.10.2016

Antworten
Vielen Dank, hast mir echt geholfen!!!


Lg Sony
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.