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Untervektorräume - Untersuchung

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Vektorraum

lisixz aktiv_icon

13:21 Uhr, 09.12.2013

Untersuchen Sie, ob es sich bei den nachstehenden teilmengen des

R^{3}

um Untervektorräume handelt.

a) {(x, y, z) \in R^{3} : x - y + z = 0}

b) {(x,

xy,

x - y) \in R^{3} : (x, y) \in R^{2}}

c) {(x, y, z) \in R^{3} : x^{2} - y^{2} = 0}

d) {(3, 4, 5) + λ (1, 0, 2) : δ \in R

Wir haben überhaupt keine Ahnung was wir damit anfangen sollten. Könnte uns jemand erklären, was man da machen sollte?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

prodomo aktiv_icon

13:40 Uhr, 09.12.2013

Ein Untervektorraum ist eine Teilmenge des

ℝ^{3},

die selbst die Struktur eines Vektorraumes hat,

z . B

. der

ℝ^{2}

. Durch die Bedingungen für die Komponenten wird ja eine Auswahl aus den Elementen von

ℝ^{3}

getroffen, bei

a) z . B

. sind nur noch

x

und

y

frei wählbar,

z

liegt dann fest. Oder du argumentierst geometrisch: es handelt sich um eine Ursprungsebene, das ist ein zweidimensionaler Unterraum.

prodomo aktiv_icon

18:16 Uhr, 09.12.2013

Einige Tips: bei

b)

könnte es sehr gut sein, dass die Menge bezüglich der Addition nicht abgeschlossen ist. Probiere mit

(\begin{matrix} x \\ x \cdot y \\ x - y \end{matrix})

und

(\begin{matrix} a \\ a \cdot b \\ a - b \end{matrix})

.
Bei

c)

ist

z

beliebig,

x^{2} - y^{2} = 0

lässt sich zu

x = y

oder

x = - y

auflösen. Das sind die beiden Diagonalen des Koordinatensystems in der xy-Ebene. Mit beliebigem

z

bilden sie zwei zueinander senkrechte Ebenen, die zwar den Ursprung enthalten, aber die Summe zweier Vektoren aus den beiden Ebenen liegt nicht zwangsläufig wieder in einer der beiden. Jede Ebene für sich allein wäre ein Unterraum.

d)

die Menge enthält kein neutrales Element

\vec{0}

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