Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Van der Corput Folge

Van der Corput Folge

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

anonymous

07:58 Uhr, 03.11.2015

Meine Frage:
Hallo zusammen, ich habe eine Frage zur Van der Corput Folge.
Gegeben ist

\sum_{a = 0}^{\infty}

wobei die Basis

b = 3

sein soll und die ia aus

{0, ..., b - 1}

.

Nun sollen die ersten 9 Folgenglieder bestimmt werden.

Meine Ideen:
Ich habe nun schon in einem Lehrbuch gesehen, dass die gesuchten Folgenglieder

0, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{9}, \frac{4}{9}, \frac{7}{9}, \frac{2}{9}, \frac{5}{9}

und

\frac{8}{9}

sind.
Allerdings frage ich mich, wie man diese Lösungen erhält...ich verstehe diese Summenformel nämlich nicht so ganz. Wo fängt ia zB immer an und wo hört es auf?

Meine Überlegung war:
1.Element

= \frac{0}{3^{0} + 1}

2.Element

= \frac{1}{3^{0} + 1}

3.Element

= \frac{2}{3^{0} + 1}

Allerdings führt mich das leider nicht auf die anderen Folgenelemente unglücklich
Wäre super wenn mir das jemand kurz anhand eines Elementes erklären könnte smile
Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

08:06 Uhr, 03.11.2015

"ich verstehe diese Summenformel nämlich nicht so ganz"

Welche Summenformel? Ich sehe bei Dir Summe, aber keine Formel.
Und überhaupt keine Definition der Van der Corput Folge.

anonymous

09:51 Uhr, 03.11.2015

Ups, da habe ich wohl im Eifer des Gefechts vergessen die Formel hinter die Summe zu schreiben

Also jetzt nochmal:

\sum_{a = 0}^{\infty} \frac{i}{b^{a + 1}}

wobei die Basis

b = 3

sein soll und die

i

von 0 bis

b - 1

gehen.

DrBoogie aktiv_icon

10:05 Uhr, 03.11.2015

So kann es auch nicht richtig sein.
Aber eine geschlossene Formel für diese Folge existiert gar nicht.
Es gibt verschiedene Arten, diese Folge zu definieren, daher wäre es gut, wenn Du wiedergeben könntest, wie sie bei Euch definiert wurde.
Am besten einfach ein Bild mit dem Text posten.

anonymous

11:08 Uhr, 03.11.2015

Okay wir haben zunächst einmal die b-adische Darstellung einer natürlichen Zahl definiert und daraus folgend dann die Van der Corput Folge ins Spiel gebracht. Auf dem Foto sollte es klarer werden.

DrBoogie aktiv_icon

11:20 Uhr, 03.11.2015

Gut, dann musst Du zuerst die Zahlen

i

für

i = 0, 1, 2, . . ., 5

in der

3

-adischen Form darstellen:

0 = 0 \cdot 3^{0}, 1 = 1 \cdot 3^{0}

2 = 2 \cdot 3^{0}

3 = 1 \cdot 3^{1}

4 = 1 \cdot 3^{1} + 1 \cdot 3^{0}

5 = 1 \cdot 3^{1} + 2 \cdot 3^{0}

.
Damit sind die Folgen

i_{a}

für

i = 0, 1, 2, . . ., 5

(0_{a}) = (0, 0, 0, . .)

(1_{a}) = (1, 0, 0, . . .)

(2_{a}) = (2, 0, 0, . . .)

(3_{a}) = (0, 1, 0, . . .)

(4_{a}) = (1, 1, 0, . . .)

(5_{a}) = (2, 1, 0, . . .)

und die ersten Glieder von Van der Corput-Folge sind dann:

0

1 / 3

2 / 3

1 / 3^{2} = 1 / 9

1 / 3^{2} + 1 / 3 = 4 / 9

1 / 3^{2} + 2 / 3 = 7 / 9

anonymous

17:09 Uhr, 03.11.2015

Alles verstanden, vielen Dank!
Für die Basis 2 bin ich dann auf folgende Ergebnisse gekommen:

0 = 0 \cdot 2^{0} (0,0,0, ...)

1 = 1 \cdot 2^{0} (1,0,0, ...)

2 = 1 \cdot 2^{1} (0,1,0, ...)

3 = 1 \cdot 2^{0} + 1 \cdot 2^{1} (1,1,0, ...)

4 = 1 \cdot 2^{2} (0,0,1, ...)

5 = 1 \cdot 2^{0} + 1 \cdot 2^{2} (1,0,1, ...)

Dies ergibt die Folgenglieder

0, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{8}, \frac{5}{8}

1264565

1264461

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?