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Vektoranalysis

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Tags: divergenz, Gradient, Rotation

Eleonora71 aktiv_icon

15:02 Uhr, 16.04.2014

Hello.

Zeigen Sie komponentenweise in karthesischen Koordinaten, dass folgendes gilt:

r o t (g r a d φ) = (0, 0, 0)

und

d i v (r o t \vec{A}) = 0

Kennt jemand eine Seite mit diesen Identitäten ich finde nur andere:

http://de.wikibooks.org/wiki/Vektoranalysis:_Teil_V

Thaaaanks a lot

Elena

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

lepton

15:08 Uhr, 16.04.2014

Stichwort: Levi-Civita-Tensor
Damit ist das Ganze ein Einzeiler!

Eleonora71 aktiv_icon

15:19 Uhr, 16.04.2014

ε_{i j k} := {1

bei gerader Permutation

(1,2,3), - 1

bei ungerader Permutation von

(1,2,3),

sonst

0}

Means,

ε_{123} = 1;

ε_{132} = - 1;

ε_{113} = 0

Laut definiton

ε_{i j k} = ε_{k i j} \land ε_{i j k} = - ε_{j i k}

Das sagt mir aber nicht viel aus, mit

r o t (g r a d φ) = (0, 0, 0)

und

d i v (r o t \vec{A}) = 0

Thanks,

Elena

PS: I found something there: matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=982&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Furl%3Fsa%3Dt%26rct%3Dj%26q%3D%26esrc%3Ds%26source%3Dweb%26cd%3D2%26ved%3D0CDoQFjAB

But it's not a Einzeiler

: D

lepton

15:28 Uhr, 16.04.2014

Denk daran, dass Levi-Civita total antisymmetrisch ist und die zweifachen partiellen Ableitungen kommutativ und somit symmetrisch (Satz von Schwarz) sind. Wodurch die sog. Kontraktion des

ε

-Tensors Null ergibt. Die Gleichungen die dort zu beweisen gelten, sagen aus, dass Gradientenfelder stets wirbelfrei (Gl. 1) und Wirbelfelder stets quellenfrei sind (Gl. 2).

Eleonora71 aktiv_icon

15:47 Uhr, 16.04.2014

Ja nun schwer damit herumzuhantieren, wenn man weder das Civita-Symbol kennt, noch mit Rotation, Gradient und Divergenz gerechnet hat.
Klingt jetzt nach sturer Nullbockhaltung ist jetzt aber echt nicht so, könnte ich vllt einen Anfang erhalten, bzw. eine andere Seite als die, die ich dort geschrieben habe um mich reinzuarbeiten, weil ich es wirklich nicht verstehe.

Thanks,

Elena

lepton

16:02 Uhr, 16.04.2014

Also Gl. 1:
-die i-te Komponente der Rotation:

(\nabla \times \vec{A})_{i} = ε_{i j k} \nabla_{j} A_{k} = ε_{i j k} \partial_{j} A_{k}

- für

\nabla_{i} = \partial_{i}

Jetzt die beiden Stichpunkte auf Gl. 1 loslassen und kompakt in Indices ausrechnen:

(\nabla \times \nabla φ)_{i} = ε_{i j k} \partial_{j} \partial_{k} φ = - ε_{i k j} \partial_{k} \partial_{j} φ = 0

, wobei bei der 2. Gleichheitszeichen die Eigenschaften (S. v. Schwarz und total antisymmetrisch von Levi) benutzt worden sind.
Wie du siehst sehr simple, jetztsollte hoffentlich Gl. 2 keine Barriere mehr darstellen.
Ansonsten, wenn du dich weiterhin noch schwer tust, geh dann diesen Artikel durch, da ist es eigentlich auch gut erklärt.

Eleonora71 aktiv_icon

17:25 Uhr, 16.04.2014

Also ich habe Probleme noch mit dem Lev-Civita-Symbol. Wie es definiert ist habe ich ja aufgeschrieben, bei der Umsetzung verstehe ich es leider noch nicht ganz mit den Permutationen,

zyklisch ist gemeint gerade

und antizyklisch ungerade

nun was bedeutet das genau?

ɛ_{123} = ɛ_{312} = ɛ_{231} = 1, (⋆)

ɛ_{321} = ɛ_{213} = ɛ_{132} = - 1

(⋆ ⋆)

Wie läuft das aber ab, ich verstehe das System nicht dahinter, was eine zyklisch und was eine antizyklische Vertauschung ist.

Bei

(⋆)

ist's noch klar wir schieben immer eins nach rechts und die letzte Ziffer kommt nach vorne.

Und alles andere ist sozusagen dann antizyklisch? Und zwei aufeinanderfolgende ja gleich Null. Okay nach ner Stunde wird's auch Zeit...

Ich hoffe wir dürfen das verwenden, naja für später kann es ja nicht schaden schon mal gehört zu haben.

Bei der Anwendung ist es mir jedoch noch rätselhaft was dort geschieht, sprich den Levi-Cevita Tensor darauf zu übertragen.

Thanks,

Elena

pwmeyer aktiv_icon

19:33 Uhr, 16.04.2014

Hallo,

vielleicht sollte

E

klären

ob sie die Definition von grad kennt
ob sie die Definition von rot kennt
wenn ja, weshalb sie nicht einfach rot (grad

(φ))

ausrechnen kann.

Gruß pwm

Eleonora71 aktiv_icon

20:27 Uhr, 16.04.2014

F (x, y, z) = (\frac{\partial F_{z}}{\partial y} - \frac{\partial F_{y}}{\partial z}) e_{x} + (\frac{\partial F_{x}}{\partial z} - \frac{\partial F_{z}}{\partial x}) e_{y} + (\frac{\partial F_{y}}{\partial x} - \frac{\partial F_{x}}{\partial y}) e_{z}

So ist die Rotation definiert. Man könnte es auch in Vektorschreibweise auffassen mache ich jetzt mal...

r o t F = \nabla \times F = (\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} F_{x} \\ F_{y} \\ F_{z} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{\partial F_{z}}{\partial y} - \frac{\partial F_{y}}{\partial z} \\ \frac{\partial F_{x}}{\partial z} - \frac{\partial F_{z}}{\partial x} \\ \frac{\partial F_{y}}{\partial x} - \frac{\partial F_{x}}{\partial y} \end{matrix})

Zum Gradienten:

g r a d (f) = \frac{\partial f}{\partial x_{1}} e_{1} + \dots + \frac{\partial f}{\partial x_{n}} e_{n} = (\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x_{1}} \\ . \\ . \\ . \\ \frac{\partial f}{\partial x_{n}} \end{matrix})

Oder:

g r a d (f) = \nabla f = \frac{{\partial f}}{{\partial x}} e_{x} + \frac{{\partial f}}{{\partial y}} e_{y} + \frac{{\partial f}}{{\partial z}} e_{z}

Nun bei expliziten Beispiel stellt mich es nicht vor größere Probleme, hier jedoch schon.

Thanks,

Elena

lepton

22:58 Uhr, 16.04.2014

Du kannst natürlich auch zu Fuß rechnen, indem du die Def's von rot und grad anwendest, aber wie schon zu sehen ist, ist das Ganze sehr rechenlastig. Levi-Civita sorgt für einen sehr eleganten Weg, indem man alles kompakt in Indices ausdrückt und durch die Eigenschaften von Levi hat man nach einer Zeile alles hinter sich.
Hier noch die Index-Variante von Gl.2:

(\nabla \cdot (\nabla \times \vec{A}))_{i} = \partial_{i} ε_{i j k} \partial_{j} A_{k} = - ε_{j i k} \partial_{i} \partial_{j} A_{k} = 0

, mit

i, j, k = x, y, z

Auch hier gilt die Antisymmetrie gegen Symmetrie, wodurch sich die Summanden gegenseitig aufheben. Alternativ kann man auch mit dem Kronecker-Delta (

δ_{i j}

) vorgehen, aber lassen wir lieber, sonst ist die Verwirrung noch größer.

pwmeyer aktiv_icon

09:06 Uhr, 17.04.2014

Hallo,

"Nun bei expliziten Beispiel stellt mich es nicht vor größere Probleme, hier jedoch schon."

Du brauchst doch nur in Deiner Formel für die Rotation

F_{x} = \partial_{x} f, F_{y} = \partial_{y} f, F_{z} = \partial_{z} f

setzen und dann einen berühmten Satz aus der Analysis verwenden.

Gruß pwm

Eleonora71 aktiv_icon

20:05 Uhr, 17.04.2014

Ich verstehe einfach nicht wie diese Indexe verlaufen, was sich dahinter verbirgt, es ist versteckte Magie für mich, das sieht wirklich elegant aus, aber weiß ich nicht wirklich wie ich es lesen soll bzw. wieso das so ist.

lepton

22:54 Uhr, 17.04.2014

Warum gehst du eigentlich nicht diesen Artikel auf dem Matheplaneten durch? Dort ist es doch eigentlich ganz gut erklärt.

pwmeyer aktiv_icon

19:13 Uhr, 18.04.2014

Hallo,

auch wenn es nervt, ich sage es noch einmal: Die Aufgabe besteht - und aus dem Kontext entnehme ich, dass genau das verlangt und gemeint ist

-

in einem elementaren Ineindandersetzen von zwei Definitionen. Weder von der Effizienz der einzelnen Aufgabenbearbeitung noch aus didaktischer Sicht ist es sinnvoll, eine übergreifende Theorie zu erlernen. Das dürfte ohnehin für

E

kaum zu erreichen sein, wenn schon das simple Einsetzen zu viele Schwierigkeiten macht.

Viele Grüße
pwm

lepton

22:38 Uhr, 18.04.2014

Vllt. sollte Elena mal mitteilen, aus welchem Kontext diese Aufgabe gestellt worden ist? Denn wie es aussieht, hatten die wohl Levi noch nicht in VL behandelt. Wenn die Aufgabe nicht aus dem Bereich Physik ist, sondern Mathe (Ana II), dann dürfte da im Großen und Ganzen eigentlich der "Satz von Schwarz" völlig ausreichen.

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