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Vektorrechnung

Schüler Berufliches Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: eben, Koordinatensystem, Parameterfreie Darstellung, Pyramide

Apfeelsine aktiv_icon

13:12 Uhr, 11.05.2014

Hi :-)
ich bereit mich grad auf die prüfung vor und hab Probleme bei folgenden Aufgaben:

A (3 | 3 | 1)

B(−1|−1|−1)
C(−1|−1|3)
D(−6|2|7)

1. Gebe für die Ebene

E,

die die Punkte

A, B

und

C

enthält, eine parameterfreie Gleichung an.
Charakterisiere die Lage dieser Ebene

E

im Koordinatensystem.

2.Die Punkte

A, B

und

C

sind die Eckpunkte der grundfläche einer Pyramide mit der Spitze D.
Fällt man vom Punkt

D

das lot auf die Ebene

E,

so erhält man den lotfußpunkt L.

Ermittel die Koordinaten des Lotfußpunkt

L

und berechne das Volumen der Pyramide ABCD

Ich finde Leider zu keinem Ansatz, bin zum mitrechnen da :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Pyramide (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide

prodomo aktiv_icon

14:41 Uhr, 11.05.2014

Ich skizziere dir mal den Lösungsweg, melde dich zurück, falls du damit nicht zurechtkommst.
Für die Ebenengleichung kannst du entweder zunächst die Parameterform bilden, dann den Normalenvektor über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen und damit die Normalengleichung bzw. durch Ausmultiplizieren die Koordinatenform finden. Oder du beginnst mit dem Einsetzen der Koordinaten von

A, B

und

C

in die Abschnittsform

a \cdot x_{1} + b \cdot x_{2} + c \cdot x_{3} = 1 (3

Gleichungen mit 3 Variablen) und machst dann daraus die Koordinatenform. Die Spurpunkte der Ebene bekommst du so gleich mit und kannst die Lage gut beschreiben.
Bei

2)

ist der Normalenvektor Richtungsvektor der Lotgeraden (Höhe).
Für

3)

brauchst du dann die Länge der Höhe (Abstand Spitze zum Lotfußpunkt) und die Grundfläche. Dazu musst du zunächst die Form der Grundfläche bestimmen (probiere, ob die Seiten der Grundfläche gleich lang bzw. parallel sind und welchen Winkel sie bilden).

Apfeelsine aktiv_icon

16:10 Uhr, 11.05.2014

Ich würde das mit dem einsetzen der Koordinaten machen allerdings weiß ich nicht mehr wie das genau geht, bräuchte hilfe dabei.

Stephan4

20:18 Uhr, 11.05.2014

1)

\vec{A B} x \vec{A C} = (\begin{matrix} - 4 \\ - 4 \\ - 2 \end{matrix}) x (\begin{matrix} - 4 \\ - 4 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 16 \\ 16 \\ 0 \end{matrix})

ε : (\vec{A B} x \vec{A C}) \cdot \vec{X} = (\vec{A B} x \vec{A C}) \cdot \vec{A}

ε : - 16 x + 16 y + 0 z = 0

ε : x - y = 0

(senkrechte Ebene, die auf der Geraden

x = y

"steht")

2)

\vec{D A}

auf den Normalvektor der Ebene projizieren:

\vec{L} = \vec{D} + \frac{\vec{D A} \cdot \vec{n}}{\vec{n} \cdot \vec{n}} \cdot \vec{n}

\vec{L} = (\begin{matrix} - 6 \\ 2 \\ 7 \end{matrix}) + \frac{((\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 6 \\ 2 \\ 7 \end{matrix})) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ - 2 \\ 7 \end{matrix})

ausgerechnet ergibt das dann:

\vec{L} = \vec{D} + 4 \cdot \vec{n}

\vec{L} = (\begin{matrix} - 6 \\ 2 \\ 7 \end{matrix}) + 4 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ - 2 \\ 7 \end{matrix})

Stephan4

21:05 Uhr, 14.05.2014

Ich nehme an, Du brauchst keine Hilfe mehr.

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