Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Vektorrechnung a*b

Vektorrechnung a*b

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Multiplikation, Vektoren, Vektorraum

matep

14:37 Uhr, 23.10.2014

Hallo zusammen,

kann mir einer bei folgender Aufgabe helfen:

\vec{a} = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \end{matrix})

\vec{b} = (\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix})

Nun soll

\vec{a} \cdot \vec{b}

berechnet werden. Wass mich irritiert ist, wie ich die Angaben vor dem

\vec{a}

berechnen soll?

Normalerweise berechnet man:

\vec{a} \cdot \vec{b} = a 1 \cdot b 1 + a 2 \cdot b 2

.

Sieht es dann in diesem Falle so aus:

2 \cdot \sqrt{2} \cdot (- 1) \cdot 0 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot (- 1) \cdot 3

??

Vielen Dak für die Hilfe :-)

Und wie berechnet man den Betrag von

\vec{a}

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Multiplikation und Division von Brüchen

funke_61 aktiv_icon

14:42 Uhr, 23.10.2014

So ist es, wenn Du statt dem letzten "

+ 3

" ein "

\cdot 3

" schreibst.
Der Vorfaktor

2 \sqrt{2}

ist für jede Komponente des Vektors ein Vorfaktor ;-)

funke_61 aktiv_icon

14:49 Uhr, 23.10.2014

bilde

| \vec{a} |

indem Du die bekannte Formel

| \vec{a} | = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}

auswertest.
Nach den Rechenregeln kannst Du den Vorfaktor auch einfach "ausklammern", dann wird es einfacher.
;-)

matep

14:53 Uhr, 23.10.2014

geändert :-) Dank für deine Hilfe.

Dann muss ich die

2 \cdot \sqrt{2}

erst multiplizieren, wenn ich den Betrag von

\vec{a}

berechnet habe sprich:

| \vec{a} | = \sqrt{}

((-1)²

+

(-1)²)

= \sqrt{2} 2 \cdot \sqrt{2}

Richtig so ?

funke_61 aktiv_icon

15:09 Uhr, 23.10.2014

ja, so sparst Du Dir Arbeit.
aber das was Du geschrieben hast ist keine Gleichung!
korrekt wäre:

| \vec{a} | = | 2 \sqrt{2} \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \end{matrix}) | = 2 \sqrt{2} \cdot | (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \end{matrix}) | = 2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{2}} = 2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}

Und das kannst Du noch ausrechnen.
;-)

matep

15:14 Uhr, 23.10.2014

Vielen Dank Funke_61 :-)

Meine letzte Frage wäre:

Den Winkel, um den man sich gegen die positive

x

Achse drehen muss, um zu

\vec{a}

zu kommen?

Was soll ich hier machen? Ich habe keine Ahnung wie ich Anfangen soll!?

funke_61 aktiv_icon

15:16 Uhr, 23.10.2014

der Vorfaktor ändert nur die Länge eines Vektors
in welche Richtung zeigt denn

\vec{a} = (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \end{matrix})

matep

15:23 Uhr, 23.10.2014

Im Koordinatensystem zeigt es nach links unten... Wenn ich es so richtig ausgedrückt habe :-)

funke_61 aktiv_icon

15:46 Uhr, 23.10.2014

genau,
jetzt bestimme dazu noch den Winkel.
Hier ist es relativ einfach, es ist die Winkelhalbierende im dritten Quadranten.
Wichtig: Diese Überlegung, in "welchen Quadranten die Spitze des Vektors zeigt", muss man immer machen, wenn man den Winkel von Vektoren bestimmt.
;-)

matep

15:55 Uhr, 23.10.2014

Funke_61 ich danke dir für deine Hilfe, aber ich komme grad echt nicht weiter

: (

Kannst du mir die Rechnung schreiben, halt ohne Lösung

funke_61 aktiv_icon

16:49 Uhr, 23.10.2014

Einfach überlegen:
Die positive x-Achse ist bei 0 Grad bzw.

0 \cdot π

Die positive y-Achse ist bei

90

Grad bzw.

\frac{π}{2}

Die negative x-Achse zeigt in Richtung

180

Grad bzw.

π

Die negative y-Achse zeigt in Richtuung

270

Grad bzw.

\frac{3 π}{2}

wenn wir "einmal ganz rum" gehen, sind wir bei

360

Grad bzw.

2 π

So, und jetzt: bei welchem Winkel sind wir in der Richtung

(\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \end{matrix})

?

Diese Überlegung ("in welchem Quadranten bin ich") musst Du wie gesagt immer bei der Bestimmung der Richtung eines Vektors machen, sonst verrechnest Du Dich bei der Anwendung der Formel mit dem "

a r c cos

"
!
;-)

matep

09:37 Uhr, 24.10.2014

Funke_61 ich verstehe es wirklich nicht... Jetzt machen sich die Lücken im Thema Vektorrechnung bemerkbar. Könntest du mir die Gleichung aufstellen, dann würde ich es sicherlich schneller verstehen :-)

Danke dir für deine Hilfe

funke_61 aktiv_icon

09:44 Uhr, 24.10.2014

Es geht nun nicht mehr um Vektorrechnung sondern um normale Geometrie.
Da Du im dritten Quadranten bist, muss der Winkel zwischen positiver x-Achse und Richtung des Vektors

\vec{a}

zwischen 180° und 270° sein.
Ist Dir das soweit klar?

matep

09:55 Uhr, 24.10.2014

Genau, soweit ist mir das jetzt klar...

Ich stell mich wirklich blöd an, tut mir leid

\frac{:}{}

funke_61 aktiv_icon

10:02 Uhr, 24.10.2014

kein Problem.
Zeichne ein rechtwikliges Dreieck, in dem die LÄNGE des Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \end{matrix})

die Hypothenuse darstellt, also

\sqrt{2}

.

Die Ankathete sei die LÄNGE der x-Komponete von

\vec{a}

also "1"

Jetzt denk an die Winkelfunktionen.
Verwende den Kosinus:

cos α =

Ankathete/Hypothenuse

matep

10:38 Uhr, 24.10.2014

Stimmt die Überlegung so:

cos α = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

cos α = \frac{\sqrt{2}}{2}

/arcos

α = 135

funke_61 aktiv_icon

10:41 Uhr, 24.10.2014

fast, denn

a r c cos (\frac{\sqrt{2}}{2}) =

45°
und das Endergebnis 135° ist NICHT korrekt.
Da Du im dritten Quadranten bist, mußt Du 180° addieren!
;-)

matep

11:01 Uhr, 24.10.2014

Stimmt, ich habe statt

\frac{\sqrt{2}}{2}

- \frac{\sqrt{2}}{2},

wegen der

- 1

Dann ist der Winkel zw.

\vec{a}

und

\vec{b}

ja:

cos α = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |} = - 6 \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot 3 = - \frac{\sqrt{2}}{2}

cos α = - \frac{\sqrt{2}}{2}

α = 135

Kann das sein, dass beidesmale

135

das Ergebnis ist, oder habe ich mich verrechnet?

funke_61 aktiv_icon

11:06 Uhr, 24.10.2014

oops,
jetzt merke ich, dass ich einen gravierenden Fehler in meinem letztzen Post hatte. korrekt wäre gewesen:
fast, denn arc

cos (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 45

°
da Du im dritten Quadranten bist musst Du noch 180° hinzuaddieren:
Winkel zwischen positiver x-Achse und

\vec{a} =

180°

+

45° = 225°

Der Fehler in meinem vorigen Post ist jetzt korrigiert :-)

matep

11:15 Uhr, 24.10.2014

nicht schlimm :-)

Danke dir nochmals für die hilfreichens Tipps.

Eins musst du mir noch erklären:

Warum nehme ich

\sqrt{2}

und nicht

2 \sqrt{2}

bei der Berechung? Wo ist die 2 vor dem

\sqrt{}

hin?

funke_61 aktiv_icon

11:19 Uhr, 24.10.2014

"Stimmt, ich habe statt

\frac{\sqrt{2}}{2}

- \frac{\sqrt{2}}{2},

wegen der −1"
ist nach meiner Überlegung nicht korrekt (ich habe die LÄNGEN also jeweils die Beträge) verwendet.
"Kann das sein, dass beidesmale

135

das Ergebnis ist, oder habe ich mich verrechnet?"
nein - Der Fehler war auf meiner Seite, sorry.

Wenn Du den Arkuskosinus aus negativen Werten ziehst, dann musst Du die Definition der Winkelfunktionen auf dem EINHEITSKREIS betrachten.
Das Ergebnis für den Winkel zwischen

\vec{b}

und

\vec{a}

hier: 135°
Stimmt für Winkel zwischen 0° und 180°.
Insofern stimmt die Formel

cos (α) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}

für den "zwischen zwei Vektoren eingeschlossenen Winkel" immer.

Deine Frage nach dem Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Vektor

\vec{a}

wird aber mit dieser Formel nicht das korrekte Ergebnis liefern. Klar warum?

Kennst Du den Einheitskreis?

funke_61 aktiv_icon

11:26 Uhr, 24.10.2014

"Eins musst du mir noch erklären:

Warum nehme ich 2 und nicht

2 \sqrt{2}

bei der Berechung? Wo ist die 2 vor dem

\sqrt{2}

hin?"

Aus dieser Frage sehe ich, dass Du die Sache mit den Winkeln leider noch nicht verstanden hast.

Der Vorfaktor

2 \sqrt{2}

wurde für die Winkelberechenung überhaupt nicht verwendet.
Da es nur auf die Richtung der Vektoren ankommt, reicht es vollkommen die Vektoren

(\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix})

zu betrachten.
Bedenke, dass der Vektor

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

die gleiche Richtung hat, wie

(\begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix})

;-)

Viel Erfolg weiterhin, bin jetzt offline ..

matep

11:37 Uhr, 24.10.2014

Achhh.... :-)

Ich habe mir den Einheitskreis ebend angeguckt. So hab es jetzt verstanden

Es wird Zeit, dass ich mich wieder mit Mathe mehr beschäftige :-)

Und die letze Frage:

Den Einheitsvektor kann ich berechnen, aber was meint unser Prof. mit der Aufgabe;

Den Einheitsvektor in Richtung