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Vereinigung Affiner Mengen wieder affin

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Hammerman

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21:55 Uhr, 23.04.2024

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zeige: die Vereinigung A∪B affiner Unterräume eines K-Vektorraumes V ist genau dann wieder affin, wenn gilt A⊂B oder B⊂A

PS: Diese Aufgabe stand so im Buch aber Ich habe bereits gelesen, diese Aussage gilt für Körper mit 2 Elementen nicht, verstehe aber nicht, warum...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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michaL

michaL aktiv_icon

22:18 Uhr, 23.04.2024

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Hallo,

eine Äquivalenz p⇔q teilt man oft auf in die beiden Teile p⇒q und q⇒p.

Ich würde hier so vorgehen.

Zunächst: A⊆B⇒A∪B Untervektorraum:
Aus A⊆B folgt A∪B=B, womit die Aussage stimmt. (Analog für B⊆A)

Nun die Umkehrung: Gelte weder A⊆B noch B⊆A.
Das bedeutet, dass A\B,B\A≠∅ gilt.
Seien also a∈A\B und b∈B\A.
Wäre A∪B ein Untervektorraum, so müsste a+b∈A∪B, da auch a,b∈A∪B.
Aber sowohl a+b∈A⇒(a+b)-a=b∈A, als auch a+b∈B⇒(a+b)-b=a∈B führen jeweils zu den Widersprüchen zur Wahl von A bzw. B.
Also kann dann A∪B kein Untervektorraum sein.

Mfg Michael

PS: Die Ausnahme für Vektorräume über Körpern der Charakteristik 2 kann ich nicht nachvollziehen. Sie wird auch durch meinen Beweis nicht gerechtfertigt.

PPS: Sorry, habe das Wort "affin" überlesen. Dafür muss die Rückrichtung überarbeitet werden. Das schaffe ich wohl nicht mehr heute. :/
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