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Verfahren nach Euler

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Tags: Anfangswertproblem, DGl 1. Ordnung

Eleonora71 aktiv_icon

18:23 Uhr, 23.05.2017

Guten Abend,

das folgende Anfangswertproblem 1. Ordnung

y' + 3 y + 1 = 4 sin (t)

mit

y (0) = 0

soll mit dem Euler-Verfahren gelöst werden.

a)

Geben Sie die maximale Schrittweite

h

an, damit im Intervall

t = [0, h]

der lokale Fehler maximal den Betrag

0,01

hat.

b)

Berechnen Sie die approximierten Funktionswerte für

t = 0

und

t = h

.

Ich wolle fragen ob die Lösung soweit stimmt? Ich kann nämlich nicht anhand der Euler-Formel aus dem Skript die folgendermaßen definiert ist:

Der Verlauf der Lösungsfunktion

y (t)

der DGL

y' = f (t, y), a \leq t \leq b,

y (a) = α

wird die durch DGL

w_{i + 1} = w_{i} + h f (t_{i}, w_{i})

mit

w_{0} = α

approxmiert, wobei

i = 0,1,2, ..., m - 1

und

h = \frac{b - a}{m}

ist. Der lokale Fehler beträgt

\frac{1}{2} y'' (c) h^{2}

für beliebige

c_{i}

im Intervall

[t_{i}, t_{i + 1}]

.

Anfangs formen wir die DGL um und ich kann nicht nachvollziehen wieso? Zudem habe ich nicht bei dem Wurzelziehen ein

\pm

? Bei

b)

grübele ich noch.

Danke schon mal für jede Antwort herzlich,

Elena

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

22:48 Uhr, 26.05.2017

Hallo
1. du stellst um. um

y'

zu haben, denn am Anfang also bei

t = 0

brauchst du ja die Steigung. dann gehst du mit der Steigung, hier

- 1

auf der Tangente zur wirklichen Funktion einen Schritt

h

und erreichst eine Punkt der nicht stark vom richtigen Funktionswert abweicht. Nur der Schritt war von dir verlangt, falls du sicher bist nur

y (0)

und

y (h)

bestimmen solltest, denn

y (0)

ist ja gegeben, deshalb ist das eigenartig.
eigentlich muss man nicht für die Abschätzung von

h t = 0

einsetzen, es muss auch für

t = h

noch gelten.
aber da sich

y

ja wenig ändert ist deine Abschätzung für

h

ok. und damit alles richtig.
Gruß ledum

Eleonora71 aktiv_icon

13:39 Uhr, 27.05.2017

Hallo ledum,

erstmal danke für deine Antwort!

Ja ich erkenne, dass erstmal umgestellt wird nach

y'

danach wird einmal differenziert und

y'

wird eingesetzt.
Aber müssen wir das tun? Ich meine wir haben dann ein auch ein

y

drin.

Ich hätte doch auch direkt mit der Gleichung:

y' = 4 \cdot sin (t) - 3 y - 1

rechnen können? Oder nicht?

2)

Ist es doch nicht ganz formal richtig. Wenn ich eine Wurzel ziehe bekomme ich doch zwei Lösungen, also es fehlt ein

\pm

?

Der Fehler beträgt

\frac{1}{2} y'' (c) h^{2},

daher brauchen wir

y''

. Dort setzen wir ja dann unser

y''

ein. Aber wieso setzen wir jetzt

y'' (0)

ein? Wir haben doch die Randbedingung

y (0) = 0

3)

bei

b)

soll ich die approximierten Funkionswerte für

t = 0

und

t = h

berechnen.

Also

t_{0} = 0

und

y (a) = α,

also

y (a = 0) = 0 = α

Für

i = 0

ist meine Euler-Formel ja:

w_{1} = w_{0} + h \cdot f (t_{0}, w_{0})

mit

w_{0} = α = 0

Also

w_{1} = 0 + 0,05 \cdot (4 \cdot sin (0) - 3 \cdot 0 - 1) = - 0,05

damit bin ich ja einverstanden. Aber davor hackt es noch an der Randbedingung da wäre ich froh, wenn sich das noch klären könnte.

Danke nochmal ledum,

Grüße

Elena

ledum aktiv_icon

17:52 Uhr, 27.05.2017

Hallo
ganz verstehe ich deine Frage nicht.
für Euler selbst braucht man die

y''

nicht, nur für die Fehlerabschätzung. die muss eigentlich in

y

bzw

y'

alle möglichen werte zwischen a und

b,

bei dir 0 und

h

berücksichtigen und den größten nehmen, du kennst aber nur den Wert bei

0,

später auch einen ungefähr Wert bei

h

. aber auf dem stück

h

ändert sich ja

y

nur um

0,05, d . h

. mit

h < 0,5

bist du auf der sicheren Seite.
dass du für

h

formal auch einen negativen Wert rauskriegst ist egal, wenn du

y (0)

kennst kannst du eben auch

y (- 0,5)

bestimmen, wenn dich Werte für

t < 0

interessieren. ist hier aber nicht gesucht. ausserdem sind Fehler immer absolut,

d . h

man rechnet mit

| h |

Was du mit Randwerten meinst versteh ich nicht, du hast nur einen Anfangswert!
Gruß ledum

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