Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Verkettung von Abbildung

Verkettung von Abbildung

Schüler Fachoberschulen, 12. Klassenstufe

Tags: Verkettung und Abbildung

Usavich aktiv_icon

13:22 Uhr, 05.11.2013

Hallo Leute,
ich habe hier eine Aufgabe, welche ich eure Hilfe benötige.

Folgende Abbildung sind gegeben:

f : ℝ \to ℝ^{2}, f (x) := (x^{2}, 2 x + 1)

g : ℝ^{2} \to ℝ, g (x, y) := x + y

h : ℝ^{2} \to ℝ^{2}, h (x, y) := (x^{2} + y^{2}, - 2 x)

Berechne die Verkettung

g o f, f o g, h o f, g o h o f, f o g o h

Meine Idee:
Erstmal zu)

g o f = ℝ \to ℝ

f : x \to x^{2}

g : (x, y) \to x + y

g o f = x^{2} + y

f : x \to 2 x + 1

g : (x, y) \to x + y

g o f = 2 x + 1 + y

Meine erste Frage ist, ist das richtig, was ich hier mache?

Danke im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Usavich aktiv_icon

15:36 Uhr, 05.11.2013

Meine Idee scheint falsch zu sein oder?

Aurel

03:29 Uhr, 06.11.2013

g \circ f = g (f (x)) = g (x^{2}, 2 x + 1) = x^{2} + 2 x + 1

f \circ g = f (g (x, y)) = f (x + y) = ({(x + y)}^{2}, 2 (x + y) + 1)

h \circ f = h (f (x)) = h (x^{2}, 2 x + 1) = ({(x^{2})}^{2} + {(2 x + 1)}^{2}, - 2 x^{2})

usw.

Usavich aktiv_icon

11:22 Uhr, 07.11.2013

Hi Aurel,
Danke schön für deine Hilfe

Ich habe noch eine Frage und zwar zum Beispiel bei

g

∘

f

hast du die Funktion

f

in die Funktion

g

eingesetzt. Und es kommt dann wie du schon angeschrieben hast

g (x^{2}, 2 x + 1) = x^{2} + 2 x + 1

. Da bei Funktion

g

die Werte

x

und

y

besitzt, also

g (x, y) = x + y

und bei

f

ist ja

f (x) = (x^{2}, 2 x + 1)

nur die Werte

x

. Kann man

2 x + 1

einfach in

y

einsetzen?

Ich hoffe, dass du meine Frage verstehst:-)

danke im Voraus

funke_61 aktiv_icon

12:25 Uhr, 07.11.2013

Beachte insbesondere auch die Angabe, dass

f : ℝ \to ℝ^{2}

(Hier wird also ein Element des

ℝ

nach

ℝ^{2}

abgebildet - es entsteht also aus etwas "eindimensionalem" etwas "zweidimensionales")

g : ℝ^{2} \to ℝ

(Hier wird genau "andersrum" abgebildet.)

ich stelle mir nun vor, dass die Abbildung bzw. Funktion

g

eine Funktion zweier verschiedener Variablen

x

und

y

ist (Sie enthält also zwei verschiedene "Komponenten"

x

und

y)

.

Da die Funktion

f (x)

zwei Komponenten "liefert", nämlich die Komponeneten

(x^{2}; 2 x + 1)

(denk an einen "Zeilenvektor

(x; y)

")
erhältst Du so die beiden beiden "neuen" Komponeneten, die Du in die Funktion

g (x, y) = x + y

einsetzen musst.

Da nun die Funktion

g

einfach die beiden verschiedenen Komponeneten (aus

ℝ^{2})

zu zu einem Element der eindimensionalen Menge

ℝ

"addiert", ergibt sich durch die ADDITION die "Gesamtabbildung"

g (f (x)) = x^{2} + 2 x + 1

in der eindimensionalen Menge

ℝ

;-)

Usavich aktiv_icon

19:09 Uhr, 07.11.2013

Ah ok

Usavich aktiv_icon

19:40 Uhr, 07.11.2013

Also wenn ich eine Zahl aus

ℝ

nehmen wir mal an, es ist eine 2. Ich setze diese in

f

und erhalte dann

f (2) = (4; 5)

und diese Zahlenpaar

(4; 5)

ist nicht anderes als

(x, y)

aus dem Koordinalensystem. Und da die Funktion

g

sowohl die Werte

x

als auch die Werte

y

annimmt, könnte man diese Zahlenpaar

(4; 5)

als Beispiel in die Funktion

g

einsetzen um die Abbildung

g

nach

f

hintereinander ausführen zu können. Als Beispiel bei der Funktion

f

ist

x = x^{2}

und

y = 2 x + 1

oder?

Ist meine Vermutung sozusagen korrekt?

danke im Voraus

prodomo aktiv_icon

06:45 Uhr, 08.11.2013

Ja. Wenn du bei deinem Beispiel bleibst, kommt

g (4; 5) = 4 + 5 = 9

heraus, das wäre gleich mit

x^{2} + 2 \cdot x + 1 = 4 + 2 \cdot 2 + 1 = 9

Usavich aktiv_icon

12:26 Uhr, 08.11.2013

Ah man kann außerdem noch überprüfen, ob die Funktionen richtig verkettet ist, in dem man irgendeine Zahl aus

ℝ

in die verkette Funktion einsetzt.

eine Frage habe ich noch und zwar bei

h o f

h o f = h (f (x)) = h (x^{2}, 2 x + 1) = {(x^{2})}^{2} + {(2 x + 1)}^{2}, {(- 2 x)}^{2},

so wie Aurel mir gezeigt hat. Nun zu meine Frage, die Funktion

h (x, y) := (x^{2} + y^{2}, - 2 x)

ist folgende gegeben. Warum wird

x^{2}

von

f (x) \in - 2 x \in h (x, y)

eingesetzt und nicht

2 x + 1 \in - 2 x

?

danke im Voraus

Usavich aktiv_icon

16:46 Uhr, 10.11.2013

könnte es sein, dass

h o f

so aussehen muss?

h o f = h (f (x)) = h (x^{2}, 2 x + 1) = {(x^{2})}^{2} + y^{2}, - 2 \cdot (2 x + 1)) = x^{4} + y^{2}, - 4 x - 2)

Danke im Voraus

Usavich aktiv_icon

15:11 Uhr, 13.11.2013

Ich danke euch alle, dass ihr mir geholfen habt.:-)

1125982

1123665

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?